 |
Шкала атрибутивных оценок тесноты корреляционной зависимости
|
|
|
|
Решение типовых задач.
Примечание к решению типовых задач.
При решении типовых задач в табличном процессоре EXCEL и вручную, на калькуляторе из-за особенностей программы при округления цифр промежуточных расчётов некоторые из итоговых результатов могут отличаться. Это не является ошибкой, а лишь особенностью пакетного и ручного решения.
Задача 1.
Приводятся данные за 2000 год по территориям Северо-Западного федерального округа
Таблица № 1.
| Территории Северо-Западного федерального округа | Оборот розничной торговли за год, млрд. руб. | Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб. |
| А | Y | X |
| 1.Респ. Карелия | 9,4 | 19,1 |
| 2.Респ. Коми | 16,7 | 37,3 |
| 3.Архангельская обл. | 16,3 | 30,0 |
| 4.Вологодская обл. | 12,1 | 27,5 |
| 5.Калининградская обл. | 14,0 | 19,0 |
| 6.Ленинградская обл. | 15,6 | 26,2 |
| 7.Мурманская обл. | 20,5 | 39,5 |
| 8.Новгородская обл. | 9,3 | 14,8 |
| 9.Псковская обл. | 7,3 | 11,6 |
| 10.г.Санкт-Петербург 1) | 83,1 | 133,6 |
| Итого | 121,2 | |
| Средняя | 13,47 | 25,0 |
| 4,036 | 9,120 |
| Дисперсия, D | 16,289 | 83,182 |
1) Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции 
, степенной 
, линейно-логарифмической функции 
и параболы второго порядка 
.
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r и ρ) и детерминации (r2 и ρ2), проанализируйте их значения.
|
|
|
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (
), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите скорректированную среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср ., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата 
, если прогнозное значение фактора (
) составит 1,062 от среднего уровня (
).
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (
; 
), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (
), оценивая точность выполненного прогноза.
Решение:
1.Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора 
. См. табл.2. Если график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат – на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.
Таблица № 2.
| Территории Северо-Западного федерального округа | Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб. | Оборот розничной торговли за год, млрд. руб. |
| А | 
| 
|
| 1.Псковская обл. | 11,6 | 7,3 |
| 2.Новгородская обл. | 14,8 | 9,3 |
| 3.Калининградская обл. | 19,0 | 14,0 |
| 4.Респ. Карелия | 19,1 | 9,4 |
| 5.Ленинградская обл. | 26,2 | 15,6 |
| 6.Вологодская обл. | 27,5 | 12,1 |
| 7.Архангельская обл. | 30,0 | 16,3 |
| 8.Респ. Коми | 37,3 | 16,7 |
| 9.Мурманская обл. | 39,5 | 20,5 |
| Итого | 225,0 | 121,2 |
| Средняя | 25,0 | 13,47 |
|
| 9,120 | 4,036 |
| Дисперсия, D | 83,182 | 16,289 |
2.Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: 
, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.
|
|
|
3.Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.
Расчётная таблица № 3
| № |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| А | ||||||||
| 11,6 | 7,3 | 134,6 | 84,7 | 8,1 | -0,8 | 0,6 | 5,9 | |
| 14,8 | 9,3 | 219,0 | 137,6 | 9,4 | -0,1 | 0,0 | 0,7 | |
| 19,0 | 14,0 | 361,0 | 266,0 | 11,1 | 2,9 | 8,4 | 21,5 | |
| 19,1 | 9,4 | 364,8 | 179,5 | 11,1 | -1,7 | 2,9 | 12,6 | |
| 26,2 | 15,6 | 686,4 | 408,7 | 13,9 | 1,7 | 2,9 | 12,6 | |
| 27,5 | 12,1 | 756,3 | 332,8 | 14,5 | -2,4 | 5,7 | 17,8 | |
| 30,0 | 16,3 | 900,0 | 489,0 | 15,5 | 0,8 | 0,6 | 5,9 | |
| 37,3 | 16,7 | 1391,3 | 622,9 | 18,4 | -1,7 | 2,9 | 12,6 | |
| 39,5 | 20,5 | 1560,3 | 809,8 | 19,3 | 1,2 | 1,4 | 8,9 | |
| Итого | 225,0 | 121,2 | 6373,6 | 3331,0 | 121,2 | 0,0 | 25,4 | 98,5 |
| Средняя | 25,0 | 13,5 | — | — | — | — | — | 10,9 |
| Сигма | 9,12 | 4,04 | — | — | — | — | — | — |
| Дисперсия, D | 83,18 | 16,29 | — | — | — | — | — | — |
| Δ= | 6737,76 | — | — | — | — | — | — | — |
| Δа0= | 23012,4 | 
| 3,415 | — | — | — | — | — |
| Δа1= | 2708,91 | 
| 0,402 | — | — | — | — | — |
3.Расчёт определителя системы выполним по формуле:
9*6373,6 – 225,0*225,0 = 6737,76;
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:
121,2*6373,6 – 3331,0*225,0 = 23012,4.
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:
9*3331,0 – 121,2*225,0 = 2708,91.
4.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:
; 
.
В конечном счёте, 
получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,402 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрастёт на 0,402 млрд. руб. (от своей средней).
Свободный член уравнения а0 = 3,415 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.
5.Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:
В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:
Это означает, что при изменении общей суммы доходов населения на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 0,744 процента от своей средней.
|
|
|
6.Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Коэффициент корреляции, равный 0,9075, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой доходов населения за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,824, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 82,4% из 100% предопределена вариацией общей суммы доходов населения; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 17,6%, что является сравнительно небольшой величиной.
7.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F -критерия Фишера – Fфактич . и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе 
, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).
В нашем случае, 
; где 
-число факторов в уравнении; 
- число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 33 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: 
при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=9-1-1=7 и уровне значимости α=0,05.
Значения 
представлены в таблице «Значения F -критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».
В силу того, что 
, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.
|
|
|
8.Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.
Например, 
. См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор. и Xфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.
График 1
 |
9.Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:
.
В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 10,2%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения 
).
10.Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции 
в линейную введём новую переменную 
, которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели 
будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.
Расчётная таблица № 4
| № |
| 
|
| 
| 
|
|
|
|
|
| А | |||||||||
| 11,6 | 2,451 | 7,3 | 6,007 | 17,892 | 7,0 | 0,3 | 0,1 | 2,2 | |
| 14,8 | 2,695 | 9,3 | 7,261 | 25,060 | 9,3 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | |
| 19,0 | 2,944 | 14,0 | 8,670 | 41,222 | 11,6 | 2,4 | 5,8 | 17,8 | |
| 19,1 | 2,950 | 9,4 | 8,701 | 27,727 | 11,6 | -2,2 | 4,8 | 16,3 | |
| 26,2 | 3,266 | 15,6 | 10,665 | 50,946 | 14,6 | 1,0 | 1,0 | 7,4 | |
| 27,5 | 3,314 | 12,1 | 10,984 | 40,102 | 15,0 | -2,9 | 8,4 | 21,5 | |
| 30,0 | 3,401 | 16,3 | 11,568 | 55,440 | 15,8 | 0,5 | 0,3 | 3,7 | |
| 37,3 | 3,619 | 16,7 | 13,097 | 60,437 | 17,9 | -1,2 | 1,4 | 8,9 | |
| 39,5 | 3,676 | 20,5 | 13,515 | 75,364 | 18,4 | 2,1 | 4,4 | 15,6 | |
| Итого | 28,316 | 121,2 | 90,468 | 394,190 | 121,2 | 0,0 | 26,2 | 93,4 | |
| Средняя | 3,146 | 13,5 | — | — | — | — | 2,9 | 10,4 | |
| Сигма | 0,391 | 4,04 | |||||||
| Дисперсия, D | 0,153 | 16,29 |
Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:
; 
; 
. Отсюда получаем параметры уравнения:
Полученное уравнение имеет вид: 
.
Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи ρ=0,9066 (сравните с 0,9075), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 10,4%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.
Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.
11.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае используются определители третьего порядка,расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5.
|
|
|
По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по следующим формулам:
Δ = n*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σx2 + Σx*Σx3*Σx2 – Σx2*Σx2*Σx2 – Σx*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*n = = 331.854.860,7;
Δa0 = Σy*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σ(y*x2)+ Σ(y*x)*Σx3*Σx2 – Σ(y*x2)*Σx2*Σx2 –
— Σ(y*x)*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*Σy = 751.979.368,8
Δa1 = n*Σ(y*x)*Σx4 + Σy*Σx3*Σx2 + Σx*Σ(y*x2)*Σx2 – Σx2*Σ(y*x)* Σx2 – Σx*Σy* Σx4 -
— Σ(y*x2)*Σx3*n = 167.288.933,1
Δa2 = n*Σx2*Σ(y*x2) + Σx*Σyx*Σx2 + Σx*Σx3*Σy – Σx2*Σx2*Σy – Σx*Σx*Σ(y*x2) –
- Σx3*Σ(y*x)*n = - 656.926,8
В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:
; 
; 
Уравнение имеет следующий вид: 
. Для него показатель детерминации составляет 82,7%, Fфактич. = 14,3, а ошибка аппроксимации 
10,6%.
Как видим, по сравнению с линейной функцией построить уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёжность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели Fфактич. = 32,8,а для параболы Fфактич.= 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка использоваться не будет.
Расчётная таблица № 5
| № |
|
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
| А | |||||||||||
| 11,6 | 7,3 | 84,7 | 134,56 | 1560,90 | 18106,39 | 982,3 | 7,8 | -0,5 | 0,3 | 4,1 | |
| 14,8 | 9,3 | 137,6 | 219,04 | 3241,79 | 47978,52 | 2037,1 | 9,3 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | |
| 14,0 | 266,0 | 361,00 | 6859,00 | 130321,00 | 5054,0 | 11,1 | 2,9 | 8,4 | 21,5 | ||
| 19,1 | 9,4 | 179,5 | 364,81 | 6967,87 | 133086,34 | 3429,2 | 11,2 | -1,8 | 3,2 | 13,3 | |
| 26,2 | 15,6 | 408,7 | 686,44 | 17984,73 | 471199,87 | 10708,5 | 14,1 | 1,5 | 2,3 | 11,1 | |
| 27,5 | 12,1 | 332,8 | 756,25 | 20796,88 | 571914,06 | 9150,6 | 14,6 | -2,5 | 6,3 | 18,5 | |
| 16,3 | 489,0 | 900,00 | 27000,00 | 810000,00 | 14670,0 | 15,6 | 0,7 | 0,5 | 5,2 | ||
| 37,3 | 16,7 | 622,9 | 1391,29 | 51895,12 | 1935687,86 | 23234,5 | 18,3 | -1,6 | 2,6 | 11,9 | |
| 39,5 | 20,5 | 809,8 | 1560,25 | 61629,88 | 2434380,06 | 31985,1 | 19,1 | 1,4 | 2,0 | 10,4 | |
| Итого | 121,2 | 3331,0 | 6373,64 | 197936,15 | 6552674,11 | 101251,3 | 121,2 | 0,0 | 25,6 | 95,6 | |
| Средняя | 25,0 | 13,5 | — | — | — | — | — | — | — | 2,8 | 10,6 |
| Сигма | 9,12 | 4,04 | |||||||||
| D | 83,18 | 16,29 |
12.Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае, выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, в котором линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение 
после логарифмирования приобретает следующий вид: 
. Порядок расчёта приведён в табл.6.
Расчётная таблица № 6
| № |
|
|
| 
|
| 
| 
| 
|
|
|
| А | ||||||||||
| 11,6 | 7,3 | 2,4510 | 1,9879 | 4,8723 | 4,8723 | 2,0330 | 0,0020 | 7,6 | 2,2 | |
| 14,8 | 9,3 | 2,6946 | 2,2300 | 6,0091 | 6,0091 | 2,2148 | 0,0002 | 9,2 | 0,7 | |
| 19,0 | 14,0 | 2,9444 | 2,6391 | 7,7705 | 7,7705 | 2,4011 | 0,0566 | 11,0 | 22,2 | |
| 19,1 | 9,4 | 2,9497 | 2,2407 | 6,6094 | 6,6094 | 2,4050 | 0,0270 | 11,1 | 12,6 | |
| 26,2 | 15,6 | 3,2658 | 2,7473 | 8,9719 | 8,9719 | 2,6408 | 0,0113 | 14,0 | 11,9 | |
| 27,5 | 12,1 | 3,3142 | 2,4932 | 8,2629 | 8,2629 | 2,6770 | 0,0338 | 14,5 | 17,8 | |
| 30,0 | 16,3 | 3,4012 | 2,7912 | 9,4933 | 9,4933 | 2,7419 | 0,0024 | 15,5 | 5,9 | |
| 37,3 | 16,7 | 3,6190 | 2,8154 | 10,1889 | 10,1889 | 2,9044 | 0,0079 | 18,3 | 11,9 | |
| 39,5 | 20,5 | 3,6763 | 3,0204 | 11,1040 | 11,1040 | 2,9471 | 0,0054 | 19,1 | 10,4 | |
| Итого | 121,2 | 28,3162 | 22,9651 | 73,2824 | 73,2824 | 22,9651 | 0,1467 | 120,3 | 95,6 | |
| Средняя | 13,5 | 3,1462 | 2,5517 | — | — | — | — | — | 10,6 | |
| Сигма | 0,3914 | 0,3187 | ||||||||
| D | 0,1532 | 0,1016 |
В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:
12,4075;
2,5371;
9,25642.
Параметры степенной функции составляют:
; 
.
Уравнение имеет вид: lnY=ln a0 + a1*ln X = 0,2045 + 0,7460*X, а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:
или 
.
Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), Fфакт. =36,6 (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,6% (сравните с 10,9% для уравнения прямой).
Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:
Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.
Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб.на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть 
Xпрогнозн.= 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: 
Yпрогнозн. =3,415+0,402*15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 5,7% приводит к приросту результата на 4,2 процента (
.
Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - 
, которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- 
и ошибки прогноза положения регрессии - 
. То есть, 
.
В нашем случае 
, где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда 
(млрд. руб.).
Ошибка положения регрессии составит: 
=
= 
= 
= 0,914 (млрд. руб.).
Интегральная ошибка прогноза составит: = 
= 2,1 (млрд. руб.).
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: 
= 2,365*2,1 = 5,011 ≈ 5,0 (млрд. руб.). Табличное значение t -критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит 
млрд. руб.
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале 
. Верхняя граница доверительного интервала составит
= 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.).
Нижняя граница доверительного интервала составит: 
= 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).
Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: 
= 
раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с 
), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.
Задача № 2.
Выполняется изучение социально-экономических процессов в регионах Южного федерального округа РФ по статистическим показателям за 2000 год.
– Оборот розничной торговли, млрд. руб.;
– Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
– Средний возраст занятых в экономике, лет;
– Среднегодовая численность населения, млн. чел.
Требуется изучить влияние указанных факторов на оборот розничной торговли.
Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил наличие двух территорию (Краснодарский край и Ростовская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
а) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=10.
|
|
|
|
| |
|
| 0,7938 | 0,2916 | 0,8891 | |
|
| 0,7938 | 0,2994 | 0,6693 | |
|
| 0,2916 | 0,2994 | 0,0113 | |
|
| 0,8891 | 0,6693 | 0,0113 | |
| Средняя | 8,878 | 5,549 | 38,79 | 1,160 |
|
| 8,7838 | 5,1612 | 1,0483 | 0,90107 |
б) - коэффициентов частной корреляции
|
|
|
|
| |
|
| 0,4726 | 0,5169 | 0,8511 | |
|
| 0,4726 | 0,0521 | -0,0793 | |
|
| 0,5169 | 0,0521 | -0,5598 | |
|
| 0,8511 | -0,0793 | -0,5598 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b -коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть a1, a2, и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - 
.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R 2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости a =0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата 
, предполагая, что прогнозные значения факторов (
)составят 101,3 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Решение.
1. Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что оборот розничной торговли -Y более тесно связан со среднегодовой численностью населения- (
) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – (
); наименее тесно результат Y связан со средним возрастом занятых в экономике – . Поэтому, в силу небольшой информативности фактора ,, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y со среднегодовой численностью населения (
) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями (
) и со средним возрастом занятых (
). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с и с , а также для Y c и .
Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:
Как видим, факторы и , действительно, тесно связаны с результатом, а между собой практически не взаимодействуют.
Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:
В данном случае, межфакторное взаимодействие оценивается как заметное (
) и по абсолютной величине сравнимо с теснотой связи розничного товарооборота со средним возрастом. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X1 и X3 ) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным
|
|
|
