 |
Решение задач на построение сечений
|
|
|
|
Работа по ознакомлению учащихся с проекционным чертежом может быть продолжена при обучении решению задач на построение сечений многогранников.
Обучение решению задач на построение сечений можно проводить в следующем плане.
Во-первых, первоначальное ознакомление учащихся с методами построения сечений следует проводить на метрически определенных изображениях. Удобно, например, это проделать на изображении куба и правильного тетраэдра, сопровождая построения на изображении демонстрацией соответствующих отношений на модели. Все это будет способствовать укреплению связи изображения и оригинала.
Во-вторых, точки, определяющие секущую плоскость, следует задавать по возможности при разнообразном взаимном расположении этих точек и многогранника, сечение которого строится.
Рис. 7
На рис.8 Приведена последовательность первых таких задач. Секущая
 |
плоскость на этих чертежах задается точками К(К1), М(М1) и Р(Р).
Рис. 8
При обучении решению как этих задач, так и любой из последующих учащимся следует выделять отдельные этапы решения, представляющие собой известные уже учащимся задачи на проекционном чертеже.
Рис. 9а
Рис. 9 б
Для построения сечения куба, представленного на рис. 9а, достаточно, например, найти точку пересечения ребра СС1 с плоскостью КМР (К1М1 Р1). Метод построения этой точки удобно раскрыть учащимся на примере решения уже известной им задачи: на проекционном чертеже (рис. 9б) построить точку пересечения плоскости β(β1)и проектирующей прямой СС1 На вспомогательном чертеже следует лишь по возможности точно воспроизвести взаимное расположение точек К(К1), M(M1), P(P1) и прямой СС1.
|
|
|
В порядке обеспечения преемственности в решении задач на проекционном чертеже важно подчеркнуть мысль, что в качестве вспомогательной плоскости СС1КК1 могла бы быть принята произвольная плоскость, проведенная через ребро СС1. Вместе с тем учащихся сразу следует приучать к рациональному выбору вспомогательных плоскостей.
При построении сечения куба (рис. 10а) плоскостью КМР (К1М1Р1) не следует препятствовать применению общего метода (рис. 10б). Однако решение этой задачи следует вести до тех пор, пока учащиеся не догадаются, что наиболее подходящей вспомогательной плоскостью будет плоскость грани BB1 CC, (рис. 10в), а не плоскости ВВ1ЕЕ1.
рис. 10а
Рис. 10б рис. 10в
Рис. 11
В то же время для построения сечения правильной шестиугольной призмы, высота которой равна стороне основания, плоскостью КМР (K1M1P1) удобнее принять в качестве вспомогательной плоскость ВВ1ЕЕ1 (рис. 11). В этом случае с помощью одной вспомогательной плоскости одновременно строятся точки пересечения секущей плоскости с двумя ребрами призмы.
Такой подход к решению задач на построение сечений дает надежное общее средство решения этих задач и позволяет развивать изобретательность учащихся при отыскании частных приемов.
Важный момент обучения решению задач на построение сечений при рассматриваемой методике составляет выделение в условии задач элементов, задающих секущую плоскость. Если условием задачи секущая плоскость задана точкой и прямой, или пересекающимися прямыми, или параллельными прямыми, то, выбирая на них три точки, сводим решение задачи к построению сечения плоскостью, заданной тремя точками.
При построении сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону верхнего основания и образующей с основанием данный двугранный угол, прежде всего определяется пара пересекающихся прямых, задающих эту плоскость.
|
|
|
Секущая плоскость определяется парой пересекающихся прямых АВ и ММ (рис. 12) и при построении сечения правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через данную точку М1 основания пирамиды, параллельно одной из больших диагоналей основания и
 |
параллельно высоте пирамиды.
Рис. 12
Выделение секущей плоскости — один из важных этапов решения задач на построение сечений.
При решении задач на построение сечений в доходчивой форме удается познакомить учащихся с понятиями полного и метрически определенного изображений, с решением позиционных и метрических задач.
Изображение многогранников вводится как метрически определенное в соответствии с вышеизложенной методикой обучения построению изображений. К понятию полного изображения можно подвести учащихся, если добиться от них понимания, что изображение, построенное по наперед заданному оригиналу, есть в то же время изображение более широкого класса фигур. Учащиеся должны понимать, что изображение, например, правильного тетраэдра является вместе с тем и изображением всех треугольных пирамид. Изображение правильной четырехугольной призмы, высота которой в два раза больше стороны основания, является в то же время и изображением четырехугольных призм, в основании которых, лежит не только квадрат и высота которых не только в два раза больше стороны основания, изображением не только прямых призм, но и наклонных.
Навык в построении сечений целесообразнее вырабатывать на полных изображениях, не связывая себя без необходимости с оригиналами наперед заданной формы. Это тем более полезно, что на полных изображениях раскрываются и некоторые общие свойства многогранников.
Полезно, например, не только построить сечение правильной треугольной призмы (рис 13) секущей плоскостью А102С1, где 02— середина оси призмы, но и доказать, что плоскость пересечет верхнее и нижнее основания любой из правильных треугольных призм..
Рис. 13
Для построения сечения достаточно найти точку (X) пересечения ребра ВВ1, с прямой О102, по которой пересекаются вспомогательная плоскость BВ1DO1 с секущей плоскостью. Отрезок XB1=30102, так как D1B1 =3D1O1, и, следовательно, D1O2 пересечет верхнее основание.
|
|
|
Широкие возможности для проведения такой работы представляет построение изображений к задачам с буквенными данными.
Приведем в качестве примера решение задачи на построение сечения призмы плоскостью.
Задача. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, лежащими на боковых ребрах призмы.
Пусть дана призма ABCDEA'B'C'D'E' и три точки М, N, Р, лежащие соответственно на ребрах АА', ЕЕ', DD', (рис).
Выберем плоскость А'В'С нижнего основания за основную плоскость а, а направление боковых ребер — за направление проектирования на основную плоскость. При таком выборе основной плоскости и направления проектирования изображение призмы является полным, т. е. все элементы призмы (грани, ребра и вершины) заданы на чертеже, что легко проверить. Так как изображение является полным, то требуемое в задаче построение осуществимо на чертеже.
Задача построения сечения сводится в нашем случае к отысканию точек пересечения плоскости MNP с боковыми ребрами (проектирующими прямыми) ВВ' и СС.
Приведем символическую запись хода решения задачи
(L С MN, α) и (К С NP, α) Þ (MNP ∩ α = KL);
R С C'D', KL;
(R С C D') и (CD' С С CD) => (R С С CD);
(R С KL) и (KL MNP)=>(R С MNP);
(P С MNP, С CD) и (R С MNP, C'CD)=>(MNP ∩C'CD=
= PR);
(X С C'C, PR) Þ (X = MNP ∩ C C);
S С B'C, KL;
(S С B'C) и (B'C B'BC) => (S С B'BC);
(S С KL) и (KL С MNP)=>(S С MNP);
10) (XMNP,B'BC)и(SСMNP,B'BC)=>(XS=MNP∩B'BC);
11) (Y С XS, B'B)=>(Y С MNP, B'B).
Итак, MNPXY — искомое сечение.
Задача 2. Найти линию пересечения четырёхугольной пирамиды SA1B1C1D1 с плоскостью Q, проходящей через точки L(L1), М (М1) и N(N1) (рис.15).
Рис 15.
Так как точки L, М и N заданы на чертеже своими изображениями и изображениями своих внутренних центральных проекций, то в данном случае целесообразно воспользоваться центральным проектированием на плоскость П из точки S, как из центра, и определять точки пересечения рёбер пирамиды с плоскостью Q. Рёбра пирамиды здесь тоже можно рассматривать как проектирующие прямые.
Соединим точки L1 с N1, L с N и А1 с М1, затем через
|
|
|
точкуРх=L1N1∩A1M1 проведём проектирующую прямую SP1 и найдём точку Р=LN∩SP1. Далее,прямую MP продолжим до пересечения в точке А с ребром SA. Точка А есть точка пересечения ребра SA1 с плоскостью Q.
Черт. 51.
Чтобы найти точку D пересечения ребра SD1 с плоскостью Q, через точку R1 =A1M1∩L1D1 проведём проектирующую прямую SR1, пересекающую прямую AM в точке R, и прямую LR продолжим до пересечения с ребром SD1.
Аналогично можно найти точки В и С. Но мы здесь для определения точки С использовали точку Т=АМ ∩ ST1 и для построения точки В нашли линию SK1 пересечения граней SA1D1 и SB1C1, а точку К= SK1 ∩ AD соединили с точкой С. Отметим, что эти приёмы могут быть использованы при проверке построений. Линия ABCD есть искомая линия пересечения данной пирамиды с плоскостью.
Используемая литература
1. А.Р. Зенгин «Основные принципы построения изображений в стериометрии». Государственное учебно- педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР. М. 1956.
2. А.Д. Семушкин «Методика обучения решению задач на построение по стереометрии».Издательство академии педагогических наук РСФСР. М. 1959
3. А.А. Столяр «Педагогика математики». Издательство «Высшая школа» 1986.
|
|
|
12 |
