 |
Определение положения главных осей тензора напряжений
|
|
|
|
Определение главных напряжений
Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.
Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:
(2)
Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из(1), получаем:
Кубические уравнения общего вида могут иметь комплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.
1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.
2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.
Воспользуемся вторым способом.
Пусть задано кубическое уравнения:
(3)
После подстановки
(4)
получим кубичное уравнение (приведенное):
(5)
Здесь 
и 
вычисляются по формулам:
(6)
Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:
(7)
(8)
Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корни исходного уравнения.
Решим наше уравнение (2):
(9)
Подстановка (4) с новыми обозначениями получает вид:
|
|
|
. (10)
Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что 
.
Подставляя (10) в (9) получим уравнение аналогичное (5):
(11)
Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (6):
Далее по формулам (7) находим:
По формулам (8) находим корни уравнения (5):
Учитывая (10), находим корни исходного уравнения (9), являющимися главными напряжениями:
(12)
В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: 
- алгебраически максимальное напряжение; 
- алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; 
- алгебраически минимальное напряжение.
Величины 
и 
вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от 
зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.
Тензор напряжений в главных осях имеет вид:
.
Определение положения главных осей тензора напряжений
Положение главных осей тензора напряжений определяется матрицей направляющих косинусов:
(13)
Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; вторая строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение 
; третья строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение 
. Все направляющие косинусы задаются в исходной (старой) системе координат, показанной на рис. 1
Направляющие косинусы главных осей находятся из системы уравнений:
(14)
при условии
(15)
Здесь 
- направляющие косинусы главной оси тензора напряжений, вдоль которой действует напряжение 
.
В теории упругости (1) доказывается, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных () системы уравнений (13), равен нулю. Следовательно, три уравнения в (13) являются линейно зависимые: одно уравнение (любое) является следствием двух других. Поэтому для определения направляющих косинусов любой главной оси нужно одно из уравнений удалить (любое) и к двум оставшимся добавить уравнение (14). Решив полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем направляющие косинусы 
, соответствующие главному напряжению . Положение оставшихся двух осей находят аналогично.
|
|
|
Нужно иметь в виду, что каждый из направляющих косинусов получается с двумя знаками. Знаки соответствуют повороту осей по часовой стрелке или против часовой стрелки. При этом главные оси занимают одно и то же положение, но направлены в противоположные стороны.
При определении положения главных осей нужно оставить одну систему знаков, конкретизировав при этом направления осей.
1.3.1 Вычисление направляющих косинусов 
Для определения направляющих косинусов 
, соответствующих оси, вдоль которой действует напряжение , подставим в (14) и (15) 
; при этом из (14) возьмем первые два уравнения (можно взять любые два):
(16)
Сначала найдем отношения между направляющими косинусами; для этого систему уравнений приведем к виду:
(17)
Решая подсистему, состоящую из первых двух уравнений, получим:
. (18)
Подставляя эти выражения в третье уравнение (17), найдем:
, (19)
откуда
.
На этом этапе решения задачи можно у 
выбрать любой знак. Примем 
. Подставляя это значение в (18), получим:
. (20)
Углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции 
от 
:
.
Вычисление 
Подставляя в (14) и (15) 
и используя те же два уравнения из (14) (можно и другие), получим:
(21)
Решая эту систему уравнений в той же последовательности, как и в п. 3.2.1, получим:
.
Здесь по-прежнему знак у 
принят положительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемы из первых двух уравнений (21).
Углы, которые составляет вторая главная ось с исходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, что определитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, что соответствует левой системе координат. Для тог, чтобы получить правую систему координат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.
|
|
|
1.3.2 Вычисление 
Подставляя в (14) и (15) 
и используя те же уравнения, получим:
(22)
Решая эту систему, получим:
.
Соответствующие углы равны:
.
|
|
|
