Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Схема вычисления неопределённого интеграла

Свойство линейности неопределённого интеграла

Теорема о замене переменной в неопределённом интеграле

При выборе новой переменной учитывается следующее:

1) Стандартные подстановки

1) В интегралах вида рекомендуется:

если n нечётное, то ; если m нечётное, то ; если и n и m нечётные, то обе подстановки работают, но выгоднее в качестве новой переменной брать ту функцию, степень которой больше (после выбора новой переменной необходимо использовать тригонометрические преобразования для подготовки проведения замены);

если n и m чётные, то степени синуса и косинуса понижают по формулам:

, , .

2) В интегралах вида и работают формулы и .

3) В интегралах вида выбирают ; – ; – . После проведения подстановки при помощи тригонометрических преобразований устраняется иррациональность.

2. В нестандартной ситуации

рекомендуется в качестве новой переменной выбрать максимально возможное выражение, производная от которого содержится в подынтегральной функции (допускается отличие на числовой коэффициент). Если такого выражения нет, то можно попытаться выбрать в качестве новой переменной наиболее неприятное выражение.

Следствие к теореме о замене переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование по частям

Некоторые функции, интегрируемые только по частям, можно классифицировать:

1. Для интегралов вида рекомендуется в роли u выбрать многочлен , а в роли dv – всё остальное. Интегрирование по частям при этом проводится n раз (n – степень многочлена).

2. Для интегралов вида рекомендуется в роли dv выбрать , а в роли u – оставшуюся функцию.

3. Для интегралов вида рекомендуется провести интегрирование по частям 2 раза, выбирая в роли u одинаковые функции оба раза, затем решить получившееся уравнение с неизвестным – исходным интегралом.

Интегрирование рациональных дробей

1. Если интегрируемая рациональная дробь неправильная , то нужно разделить многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком и представить эту дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби . Затем применить свойство линейности и представить исходный интеграл в виде суммы интегралов от степенных функций и интеграла от правильной дроби.

2. Чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь нужно:

1) Разложить многочлен знаменателя на множители.

2) Представить дробь в виде суммы простейших в зависимости от множителей знаменателя:

множителю вида соответствует простейшая дробь ;

множителю вида соответствует сумма простейших дробей ;

множителю вида , где соответствует простейшая дробь .

3) Привести полученную сумму простейших дробей к общему знаменателю (равен исходнму знаменателю), приравнять числитель этой дроби к многочлену в числителе исходной правильной рациональной дроби и из этого равенства найти значения неопределённых коэффициентов (для этого рекомендуется в левую и правую части равенства сначала подставить корни знаменателя правильной дроби, затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа).

4) Подставить в интеграл полученное представление дроби с найденными коэффициентами, применить свойство линейности и вычислить интегралы от простейших дробей:

, ,

а чтобы вычислить интеграл с квадратным трёхчленом нужно разбить его на два так, чтобы первый вычислялся заменой переменной , а второй после выделения в знаменателе полного квадрата приобретал табличный вид (9):

ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

При вычислении неопределённого интеграла необходимо учитывать, что далеко не все функции можно проинтегрировать аналитически. Окончательный результат получается у табличных интегралов, поэтому основные усилия при вычислении интегралов направлены на придание интегралу табличного вида всеми возможными способами: здесь задействуются элементарные преобразования функций (алгебраические, тригонометрические и т.п.), а также методы замены переменной и интегрирования по частям. Единственное свойство, которым обладает неопределённый интеграл (в отличие от производной) – это свойство линейности: интеграл от суммы равен сумме интегралов, и числовой коэффициент можно выносить за знак интеграла, это свойство также применяется для упрощения вида интеграла.

СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Сравнить интеграл с таблицей и проанализировать, насколько исходный интеграл отличается от табличных. При этом возможны следующие благоприятные ситуации:

а) интеграл табличный – ответ получается сразу;

б) интеграл отличается от табличного тем, что в подынтегральной функции имеющей табличный вид вместо чистой переменной х представлена её линейная комбинация , то есть переменная «испорчена» лишь числами – тогда применяется следствие к теореме о замене переменной и результат тоже получается сразу, без дополнительных действий.

В некоторых случаях при проведении анализа выявляется «корень зла» – та ситуация, которую обязательно необходимо устранить, чтобы получить возможность вычислить этот интеграл – тогда дальнейшее действие очевидно; или имеется стандартная ситуация, схема действий в которой тоже определена. В других случаях переходят к пункту 2.

2. Проанализировать, можно ли с помощью элементарных преобразований придать подынтегральной функции табличный вид или представить её в виде суммы и применить свойство линейности, разбив исходный интеграл на сумму более простых.

Перед применением свойства линейности убедиться в его целесообразности: что получаемые при этом интегралы действительно вычисляются легче, чем исходный, или по виду близки к табличным.

3. Оценить возможность применения метода замены переменной или метода интегрирования по частям.

Как правило, в первую очередь нужно попытаться применить метод замены переменной, успех которого зависит от возможности выбора новой переменной.

Достаточно большое количество функций, не подлежащих классификации, интегрируется по частям. Можно рекомендовать сначала подобрать выражение, выступающее в роли dv, так как при вычислении v берётся интеграл и, чтобы его без труда найти, он должен быть табличным; а в роли u – всё остальное, так как можно легко продифференцировать любую функцию. Часто использование метода интегрирования по частям приводит к решению уравнения, неизвестным в котором выступает исходный интеграл (как в случае класса 3).

Следует учитывать, что многие интегралы можно вычислить несколькими способами, поэтому необходимо оценить возможность и уровень сложности процесса применения всех методов, чтобы выявить из них наиболее рациональный.

При вычислении одного интеграла возможно чередование методов или многократное применение одного метода.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Формула Ньютона-Лейбница: , где .