 |
Занятие 2. Комплексные числа
|
|
|
|
Занятие 1. Комплексные числа
Содержание теории
1. Алгебраическая форма числа, определение, понятие сопряженного числа.
2. Действия над числами в алгебраической форме: сложение, умножение, деление, возведение в степень (квадрат, куб), решение квадратных уравнений.
Основные формулы для решения задач
1. Алгебраическая форма числа 
– действительная часть, 
– мнимая часть числа.
2. Сопряженное число 
3. Свойство мнимой единицы 
Решение типовых задач
1. Найти 
и 
, если
а) 
б) 
Решение. а) Перемножая почленно и учитывая, что 
получим:
Ответ. 
б) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
Ответ. 
2. Найти 
и 
и записать комплексное число если
Решение. Выполнив операции над комплексными числами и используя условие равенства двух комплексных чисел, получим:
Решаем систему: 
Ответ. 
3. Вычислить:
а) 
б) 
Решение. а) Применяя формулу куба разности, получим: 
Ответ. 
б) Последовательно выполнив операции над комплексными числами, получим:
Ответ. 
4. Найти корни уравнения:
Решение. Находим дискриминант и пару комплексно-сопряженных корней уравнения:
Для самостоятельного решения
1) Найти и и записать комплексное число если 
Ответ. 
2) Решить систему в комплексных числах:
Ответ. 
3) Вычислить:
а) 
б) 
Ответ. 
4) Решить уравнения:
а) 
б) 
Ответ. 
Занятие 2. Комплексные числа
Содержание теории
1. Геометрическое изображение чисел.
2. Понятие модуля и аргумента числа.
3. Тригонометрическая и показательная формы числа.
4. Действия над числами в тригонометрической и показательной формах: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.
|
|
|
Основные формулы для решения задач
1. Каждому комплексному числу 
можно поставить в соответствие вектор 
.
2. Геометрический смысл разности двух комплексных чисел – это расстояние между точками 
и 
, 
.
3. Модуль числа 
равен 
. Аргумент числа равен 
Главное значение аргумента 
удовлетворяет условию 
.
4. Тригонометрическая и показательная формы числа 
формула Эйлера.
5. Если 
, то 
6. Если 
то 
Решение типовых задач
1. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные
числа: 1) 
2) 
3) 
Решение. 1) 
Определяем вспомогательный угол 
угол 
всегда острый. Учитывая четверть, в которой расположено комплексное число, определяем аргумент z.
у нас 
2) 
3)
2. Выполнить действия. Ответ записать в трех формах. Указать модуль и главное значение аргумента комплексного числа z.
если 
Решение. 
-модуль комплексного числа z, 
-главное значение аргумента комплексного числа z.
Найдем модули и главные значения аргументов комплексных чисел.
а) 
б) 
в) 
Тогда 
Ответ. 
3. Вычислить 
Решение. 
если 
Найдем модули и главные значения аргументов комплексных чисел.
а) 
б) 
Тогда 
Ответ. 
4. Найти все значения корня 
Решение. Представим число 
в тригонометрической форме.
Используем формулу 
Тогда
Ответ.
5. Начертить в комплексной плоскости линию, заданную уравнением 
Решение. Так как 
есть расстояние между точками и , то из равенства 
следует, что точки линии удалены от точки 
на расстояние, равное 3, то есть данная линия – окружность радиуса 3 с центром (2,–1).
6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным неравенствам:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Решение.
а) Неравенство 
означает, что расстояние от точки 
до точек z меньше 2. Этому условию удовлетворяют точки круга с центром в точке 
радиуса 2, исключая границу.
|
|
|
б) Неравенство 
означает, что расстояние от точки 
до точек z должно быть не меньше 1. Искомое множество лежит вне круга с центром в точке 
радиуса 1, включая границу.
в) Искомое множество должно удовлетворять двум неравенствам 
и 
Первое неравенство определяет внешность круга, радиуса 1 с центром в точке (1,1), включая границу. Второе неравенство- круг радиуса 3 с центром в той же точке (1,1), исключая границу. Поэтому данное множество-кольцо с центром в точке (1,1), ограниченное окружностями радиусов 
и 
г) Равенство 
задает на плоскости множество точек с одинаковым аргументом, то есть луч, выходящий из начала координат под углом 
к действительной оси.
д) Неравенство 
задает на плоскости угол, ограниченный двумя лучами, выходящими из начала координат под углами и 
к действительной оси.
е) Неравенство 
задает на плоскости множество точек, действительная часть которых не меньше 1. Это множество является полуплоскостью с границей, перпендикулярной действительной оси и проходящей через точку (1;0).
Для самостоятельного решения
1) Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме.
а) 
Ответ. 
б) 
Ответ. 
в) 
Ответ. 
2) Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме. Указать модуль и главное значение аргумента комплексного числа z.
Ответ. 
3) Выполнить действия.
а) 
Ответ. 
б) 
Ответ. 
4) Выполнить действия. Указать действительную и мнимую часть комплексных чисел.
а) 
Ответ. 
б) 
Ответ. 
5) Найти все значения корня.
а) 
б) 
в) 
Ответ. а) 
б) 
в) 
6) Найти все корни уравнения 
Ответ.
7) Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.
а) 
Ответ. Внутренность круга R=5, центр О(3,4), границы не входят.
б) 
Ответ. Внешность круга R=2, центр О(5,-3), граница включается.
в) 
Ответ. Кольцо между двумя окружностями радиусов и 
, центр обеих лежит в О(-2,-1). Внешняя окружность не включает границу; внутренняя граница включается.
г) 
Ответ. Полуокружность 
(граница включается).
|
|
|
