 |
Провести построение степенного метода решения частичной проблемы собственных значений матрицы. Доказать теорему сходимости этого метода
|
|
|
|
ПРОГРАММА
Теоретического зачёта по численным методам ч.1. специальности 010501(010200)
III курс механико-математический факультет СГУ 2011 / 2012 уч.год.1сем.
Общее замечание. В каждом вопросе программы необходимо знать и уметь формулировать все встречающиеся определения и понятия, как курса численных методов, так и других дисциплин. Матрицы СЛАУ в примерах строить без нулевых элементов.
Прямые методы приближенного решения систем линейных алгебраических
Уравнений (СЛАУ)
Методы прямой и обратной подстановок решения треугольных СЛАУ. Построить метод Гаусса. Дать матричное и индексное представление формул и алгоритмов методов. Подсчитать число операций. Вычисление определителя и обратной матрицы этими методами.
Пример. Составить модельную задачу для СЛАУ с точным решением [1 3 2]’. Матрицу подобрать такую, чтобы СЛАУ решалась методом Гаусса. Дать матричное и индексное представление алгоритма метода для этого примера с нахождением решения,
Определителя и обратной матрицы.
Метод Гаусса с выбором главного элемента. Что такое ведущий и главный элементы в методе?
Пример. Составить модельную задачу для системы из 3-х уравнений с точным решением [-1 0.1 2]'. Построить алгоритм решения задачи методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам матрицы.
Провести обоснование метода Гаусса с доказательством теоремы о LR разложении матрицы.
Пример. Построить модельную задачу для СЛАУ из трех уравнений, которую можно решить методом Гаусса. Составить алгоритм получения LR разложения матрицы СЛАУ.
Построить метод квадратного корня и его алгоритм. Определить вид СЛАУ, которую можно решать этим методом. Подсчитать число необходимых операций.
|
|
|
Пример. Привести СЛАУ из 3-х уравнений с точным решением [1 2 3]’, которую можно решить методом квадратного корня. Построить алгоритм этого метода для получения решения СЛАУ.
Относительная и абсолютная погрешность приближенного решения СЛАУ. Нормы векторов и матриц в конечномерном векторном пространстве. Обусловленность матрицы. Устойчивость СЛАУ. Влияние обусловленности на точность и устойчивость решения.
Пример. Построить СЛАУ с матрицей 3-го порядка и точным решением [-2 3 1], которую можно решать методом Гаусса. Определить число обусловленности матрицы и СЛАУ.
Итерационные методы приближенного решения СЛАУ
Построить приведенную СЛАУ и итерационную формулу ее приближенного решения. Определить понятия погрешности, невязки, сходимости, критерия останова. Доказать теорему о достаточных условиях сходимости стационарного итерационного метода. Доказать следствие об условии остановки итераций.
Пример. Построить модельную задачу для приведенной СЛАУ из 3-х уравнений с точным решением [-1 0 5]', которую можно решить методом итераций. Составить алгоритм итерационного метода.
Провести построение и доказательство следствия об условиях сходимости итерационного метода Якоби решения СЛАУ. Привести алгоритм метода в индексной и матричной форме.
Пример. Построить алгоритм метода Якоби для решения СЛАУ из 3-х уравнений. При этом построить модельную задачу с точным решением [2 3 1]'.
Провести построение и доказательство следствия об условиях сходимости метода Зейделя для решения СЛАУ. Привести алгоритм метода в индексной и матричной форме. Какие особенности алгоритма этого метода?
Пример. Построить алгоритм метода Зейделя для решения СЛАУ из 3-х уравнений. При этом построить модельную задачу с точным решением [1 3 1]'.
9. Определить степенную скорость сходимости итерационного метода и её порядок. Определить асимптотическую скорость сходимости и наименьшее число итераций для заданной точности решения 
. Доказать теорему о сходимости и выборе оптимального параметра сходимости стационарного метода простых итераций приближенного решения СЛАУ.
|
|
|
Пример. Выбрать оптимальный параметр в методе простых итераций, построив задачу для СЛАУ из 2-х уравнений с точным решением [1 2]'.
Построить метод скорейшего спуска решения СЛАУ. Доказать его сходимость.
Пример. Построить алгоритм метода скорейшего спуска для решения СЛАУ из
3-х уравнений. При этом построить модельную задачу с точным решением [2 3 1]'.
Методы приближенного решения задач на собственные значения матрицы
Провести постановку задачи на собственные значения матрицы. Построить итерационный метод вращений (метод Якоби) решения полной проблемы собственных значений. Доказать теорему сходимости. Критерий останова.
Пример. Привести пример матрицы 3-го порядка, к которой можно применить этот метод. Построить для нее алгоритм метода вращений.
Провести построение степенного метода решения частичной проблемы собственных значений матрицы. Доказать теорему сходимости этого метода
Пример. Построить алгоритм метода и проделать две итерации для матрицы 3-го порядка (матрицу придумать самим!).
|
|
|
