Черная  белая   зеленая  красная синяя

Ястребов Соколов Орлов

Рис. 1.

 

Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами.

 

Задача 2. Три товарища, Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы в школах Москвы, Санкт-Петербурга и Киева. Известно, что Иван работает не в Москве, а Дмитрий – не в Санкт-Петербурге; москвич преподает химию. Дмитрий не биолог. Какой предмет, и в каком городе преподает каждый товарищ?

Решение. Сначала все условия наносятся на схему. Решение же сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (рис.2.).

 

                      Иван       Дмитрий       Степан

 

                                                                                     Москва

           Химия

                                                                                  Санкт-Петербург

                    Биология

                                             Физика           Киев

Рис. 2.

 

При решении мы можем получить треугольники трех видов:

а) все стороны являются сплошными отрезками (решение зедачи);

б) одна сторона – сплошной отрезок, а другие – штриховые;

в) все стороны – штриховые отрезки.

Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок. Это легко доказать на примере данной задачи.

Рассмотрим треугольник: химия – Дмитрий – Санкт-Петербург. Если предположим, что третья сторона – сплошной отрезок, то получаем следующие высказывания

-«Дмитрий преподает химию»;

-«Тот, кто преподает химию, живет в Санкт-Петпрбурге»;

-«Дмитрий не живёт в Санкт-Петербурге»;

Но из второго и третьего высказывания следует, что Дмитрий не преподает химию (отрицание первого высказывания). Значит, отрезок Дмитрий – химия штриховой, что соответствует высказыванию: «Дмитрий не преподает химию».

Задача решается автоматически: построением треугольников. От условия задачи, после внесения его на схему, можно отвлечься (рис. 3).

 

 

Иван          Дмитрий        Стапан

 

 

                                                                  Москва

                    Химия

 

                                                                          Санкт-Петербург

                        биология

 

 

                     физика                                 Киев

 

рис.3.

 

При обучении школьников логически грамотно мыслить несомненную методическую ценность представляют задачи с неоднозначными ответами и избыточными условиями. Такие задачи чаще всего ставят учащихся в тупик. Графы, представыленные точками и отрезками, позволяют справиться с такими трудностями и выявлять структурные особенности задач.

Задача 3. Маша, Женя, Лида и Катя умеют играть на различных инструментах (виолончели, рояле, гитае и скрипке). Они же владеют различными иностранными языками (английским, французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Известно, что девушка, которая играет на гитаре, говорит по- испански, Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка, так же как и Маша. Девушка, которая говорит по-немецки, не умеет играть на виолончели, Женя знает французский язык, но не умеет играть на скрипке. Кто же из девушек какой язык знает и на каком инструменте играет?

Решение. Обозначим имена: М, Ж, Л, К; музыкальные инструменты: В, Г, Р, С; иностранные языки: А, Ф, Н, И. Получаем два частичных решения задачи: К-С-А и Ж-В-Ф (рис. 4).

 

М                Ж                   Л                 К

               В                                                                                       А

                          Р                                                               Ф

                                      Г                                       Н

                                               С                  И

 

Рис.4.

 

Далее же задача допускает два решения: М-Р-Н, Л-Г-И или М-Г-И, Л-Р-Н. Любое из этих решений не противоречит условию задачи.

б) Табличный способ

Второй способ решения логических задач – с помощью таблиц – также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов.

 

Задача 4. «Город мастеров». В нашем городе живут 5 друзей: Иванов, Петров, Сидорчук, Веселов и Гришин. У них разные профессии: маляр, мельник, парикмахер, почтальон, плотник. Но я точно знаю, что Петров и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти, а Иванов и Гришин давно собираются посетить мельницу, где работает их товарищ. Петров и Веселов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, а Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон же предпочитает бриться дома. Помогите мне установить профессию каждого из друзей.

Решение. Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждого товарища одна фамилия и одна профессия (и у всех разные).

Правило 1: В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).

Правило 2: Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».

Начертив таблицу, нужно разместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. Если ребята затрудняются сразу заполнить таблицу, то можно помочь им наводящими вопросами. Правила же выводятся обычно самостоятельно, интуитивно. Нужно только заострить на них внимание школьников.

Заполнив по условию задачи таблицу, сразу получем два типичных решения: Гришин – плотник, а Иванов – парикмахер (рис. 5).

Дальше ответ получается автоматически, но этот «автоматизм» можно «перевести» на язык логических рассуждений. Такой «перевод» и интересен, и помогает увидеть, откуда берется решение.

 

Профессия	Почтальон	Маляр	Мельник	Парикмахер	Плотник
Фамилия
Гришин	-	-	-	-	+
Иванов	-	-	-	+	-
Сидорчук				-	-
Петров	-	-		-	-
Веселов	-			-	-

Рис.5.

 

После того, как произошло «сужение информации» и точно установлено, что Гришин – плотник, а Иванов – парикмахер, рассуждать можно так: т.к Иванов не почтальон (он парикмахер) и из условий задачи следует, что Гришин, Петров и Веселов не работают почтальоном, значит, Сидорчук – почтальон (а значит, не маляр и не мельник); мельником может быть только Петров, а Веселов – маляром. Эта задача предполагает только одно решение.

Может быть, интересным покажется решение этой задачи на координатной плоскости. По оси абцисс располагаются элементы одного множества (в данном случае профессии), а по оси ординат – элементы другого множества (фамилии). Соответствие и несоответствие между элементами обозначается темными и светлыми фигурами (кружками). При заполнении квадрата используются те же правила взаимооднозначного соответствия (рис.6).

 

У(фамилия)

 

Гришин      ○ ○  ○ ○    ●

 

Иванов       ○ ○   ○ ●   ○

 

      Сидорчук     ● ○   ○ ○   ○ 

 

        Петров       ○ ○   ● ○   ○

 

 Веселов    ○ ●    ○ ○  ○ 

                 

                 П-н М-р М-к П-р П-к          х(профессия)   

Рис.6.

 

Интересно рассмотреть задачу, правила решения которой несколько отличаются от уже знакомых.

 

Задача 5. «Леночка и разноцветные игрушки».

- Ой, какие красивые разноцветные шарики! А какие коробочки! Дедушка, ну, пожалуйста, подари их мне! – воскликнула Леночка, едва переступив порог дедушкиной комнаты.

- Посмотрим, заслуживаешь ли ты такого подарка, - ответил дедушка, и попросил Леночку на некоторое время выйти из комнаты. Но не прошло и минуты, как как девочка услышала, что её уже зовут.

- Перед тобой пять коробочек: одна белая, одна чёрная, одна красная, одна синяя и одна зеленая, - сказал дедушка. – Шарики тех же цветов, что и коробочки, по два шарика каждого цвета: два белых, два чёрных, два красных, два синих и два зелёных. В каждую коробочку я положил по два шарика. Чтобы ты не думала, будто цвет шариков в коробочке совпадает с цветом самой коробочки, скажу сразу: шарики по коробочкам я разложил как пришлось. Если ты скажешь, какого цвета шарики лежат в каждой коробочке, то я подарю тебе все шарики вместе с коробочками.

- Но ведь это очень трудно, - печально вздохнула Леночка.

- Совсем не трудно, - утешил её дедушка. – К тому же я помогу тебе – вот послушай:

1) ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;

2) ы красной коробочке нет синих шариков;

3) в коробочке нейтрального цвета лежат один красный и один зелёный шарик. (Тут Леночка, не выдержав, спросила, что такое нейтральный цвет. Дедушка объяснил, что так принято называть белый или чёрный цвет);

4) в чёрной коробочке лежат шарики холодных тонов (Леночка уже знала, что холодными называют зеленые и синие тона);

5) в одной коробочке лежат белый и один синий шарик;

6) в синей коробочке находится один черный шарик. Помогите Леночке решить дедушкину задачу!

Знаний, полученных при решении предыдущих задач достаточно, чтобы решить эту задачу. Новое здесь, то, что каждой коробочке соответствует два шарика. А метод решения учащиеся могут предложить сами.

Первый способ решения (рис.7).

 

Коробочка	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Шарик
Белый	-	-	-	-
Черный	-	-	-	-	+
Синий	-	-			-	-			-	-
Зеленый	+	-					-	-
Красный	+	-	-	-					-	-

Рис.7.

 

Из утверждений 1, 2, 3,4 следует, что в белой коробочке лежат один зеленый и один красный шарики. Тогда в черной коробочке лежат либо два синих, либо синий и зеленый; но из утверждения 5 следует, что два синих шарика лежать в черной коробочке не могут. Один зеленый шарик лежит в белой коробочке, второй в черной, значит зеленых шариков нет в синей и красной коробочках (рис. 8).

Белый и синий шарики лежат вместе, но вместе они могут лежать только в зеленой коробочке. Следовательно, в зеленой коробочке нет черных и красных шариков (а так же белого и второго синего). Остались неуложенными: красный, белый и черный шарики; красная коробочка пустая и синяя – с одним черным шариком.

 

Коробочка	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Шарик
Белый	-	-	-	-
Черный	-	-	-	-	+
Синий	-	-	+	-	-	-			-	-
Зеленый	+	-	+	-	-	-	-	-	-	-
Красный	+	-	-	-					-	-

Рис.8.

 

Красный шарик может лежать только в синей коробочке, а значит белый и черный – в красной (рис.9).

 

Коробочка	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Шарик
Белый	-	-	-	-	-	-	+	-	+	-
Черный	-	-	-	-	+	-	-	-	+	-
Синий	-	-	+	-	-	-	+	-	-	-
Зеленый	+	-	+	-	-	-	-	-	-	-
Красный	+	-	-	-	+	-	-	-	-	-

Рис.9.

 

Второй способ решения (рис.10).

 

Черная  белая   зеленая  красная синяя

                                                                                        Черный

                        Черный белый   зеленый красный синий

 

Красный и зеленый шарики, по условию 3, образуют пару одной коробочки. Так как в синей коробочке одно «место» занято, то эта пара может лежать только в белой. Сузим информацию. По условию 5, синий и белый шарики образуют пару. Эта пара может лежать только в зеленой коробочке (рис.11).

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: