Функции по результатам измерений и оценка их точности

 

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

 

∆U₁ = k∆l₁

∆U₂ = k∆l₂

…………..

∆U_n = k∆l_n

 

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

 

(∆U₁² + ∆U₂² + … + ∆U_n²) / n = k²×(∆l₁² + ∆l₂² +... + ∆l_n²) / n;

∑∆U² / n = k²×(∑∆l² / n);

m = √(∑∆U² / n);

m² = k² × m_l²,

 

где m_l – СКП дальномерного отсчёта.

m = k × m_l.

 

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Функция вида U = l₁ + l₂

Определить СКП U, где l₁ и l₂ – независимые слагаемые со случайными погрешностями ∆l₁ и ∆l₂. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

 

∆U = ∆l₁ + ∆l₂.

 

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

∆U₁ = ∆l₁' + ∆l₂' – 1-е измерение,

∆U₂ = ∆l₁" + ∆l₂" – 2-е измерение,

…………………

∆U_n = ∆l₁⁽ⁿ⁾ + ∆l₂⁽ⁿ⁾ – n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

 

∑∆U² / n = (∑∆l₁²)/n + 2×(∑∆l₁×∆l₂)/n + (∑∆l₂²)/n.

 

Так как в удвоенном произведении ∆l₁ и ∆l₂ имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

 

m_U² = m_l1² + m_l2²;

m_U = √(m_l1² + m_l2²).

 

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

 

m_l1 = m_l2 = m;

m_U = √(m² + m²) = √2m² = m√2.

 

В общем случае:

 

m_U = m√n,

 

где n – количество аргументов l.

Функция вида U = l₁ - l₂

 

m_U = m√n;

m_U = √(m_l1² + m_l2²).

 

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Функция вида U = l₁ - l₂ + l₃

 

m_U = √(m_l1² + m_l2² + m_l3²…)

 

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Линейная функция вида U = k₁l₁ + k₂l₂ + … + k_nl_n

 

m_U = √[ (k₁m_l1)² + (k₂m_l2)² + … + (k_nm_ln)²],

 

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ƒ(l₁, l₂, …, l_n)

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l₁, l₂, …, l_n могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

 

dU = (dƒ/dl₁)×dl₁ + (dƒ/dl₂)×dl₂ + … + (dƒ/dl_n)×dl_n,

 

где (dƒ/dl₁), (dƒ/dl₂), …,(dƒ/dl_n) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

m_U² = (dƒ/dl₁)²×m_l1² + (dƒ/dl₂)²×m_l2² + … +(dƒ/dl_n)²×m_ln².

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

 

(dƒ/dl₁), (dƒ/dl₂), …,(dƒ/dl_n).

 

И тогда m_U = √[ (dƒ/dl₁)²× m_l1² + (dƒ/dl₂)²×m_l2² + … +(dƒ/dl_n)²×m_ln²].

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента.

Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах.

 

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

 

m_lср. = ½ √∑d²/n

 

где d – разности в каждой паре; n – количество разностей.

Формула Бесселя:

 

m_lср = ½ √∑d²/n-1

 

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180˚, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

 

μ =√∑ [ f ² / n ]/ N,

 

где - СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.

Определение дополнительных пунктов

Цель и методы определения дополнительных пунктов

 

Дополнительные пункты определяются наряду со съемочной сетью в основном для сгущения существующей геодезической сети пунктами съемочного обоснования. Они строятся прямыми, обратными, комбинированными, а при наличии электронных дальномеров – линейными засечками и лучевым методом.

В некоторых случаях дополнительный пункт определяется передачей (снесением) координат с вершины знака на землю.

Передача координат с вершины знака на землю. (Решение примера)

При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т.п.). Тогда и возникает задача по снесению координат пункта триангуляции на землю для обеспечения производства геодезических работ на данной территории.

Исходные данные: пункт A с координатами X_A, Y_A; пункты геодезической сети B (X_B, Y_B) и C (X_C, Y_C).

Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов b₁ и b'₁; измерения горизонтальных углов ß₁ , ß'₁ , ß₂ , ß'₂; б, б'.

Требуется найти координаты точки P – X_P, Y_P.

Решение задачи разделяется на следующие этапы:

Решение числового примера

 

Исходные данные

Обозначе- ния	А ХА, YА	B ХB, YB	C ХC, YC	β1 β2	β2 β2`	β1 β1`	б б‘
Численные значения	6327,46	8961,24	5604,18	266,12	38o26'00"	70o08'54"	138o33'49"
	27351,48	25777,06	22125,76	198,38	42˚26'36"	87˚28'00"	71˚55'02"

 

Вычисление расстояния D_АР

Обозначе- ния	B1 B2	sinβ2 sinβ‘2	sin(β1+β2) sin(β‘1+β‘2)	B1 sinβ2 B2 sinβ‘2	D1 D2	D1 -D2 2D/T	Dср
Численные значения	266,12	0,62160	0,94788	165,420	174,52	0,00	174,52
	198,38	0,67482	0,76705	133,871	174,52

 

Решение обратных задач

Обозначения	YB YА	ХB ХА	YC YА	ХC ХА	tgαAB αAB	tgαAC αAC	sinα AB sinα AC cos αAB cosαAC	S AB S AC
Численные значения	10777,06	8961,24	7125,76	5605,08	-0,5977	7,23421	-0,51309 -0,99058 0,85833 -0,13693	3068,48
	12351,48	6327,46	12351,48	6327,46	329˚07'55"	262o07'51"		5275,51

 

Вычисление дирекционных углов α_{АР =} α_D

Обозна- чения	D	sinб sinб'	S AB S AC	sin ψ sin ψ'	ψ ψ'	φ φ'	αAB αAC	αD α'D	αD-α'D õmß
Численные значения	174,52	0,66179	3068,48	0,03950	2o15'50"	39o10'41"	329o07'55"	8o18'36"	∆α=1'30"
		0,95061	5275,51	0,03292	1o53'13"	106o11'46"	262o07'51"	8o18'37"

 

sin ψ = D×sinб/ S _AB; sin =174,52×0,66179/3068,48=0,03950;

sin ψ' = D×sinб'/ S _AС; sin `=174,52×0,95061/5275,51=0,03292;

ψ = arcsin 0,03950 =2 ^o15` 50``;

ψ'= arcsin 0,03292=1 ^o53` 13``;

φ = 180 ^o – (б+ ψ) = 180 ^o – (138^o33` 49``+2 <sup>o</sup>15` 50``) = 39<sup>o</sup>10` 41``

φ`= 180 <sup>o</sup> – (б`+ ψ`) = 180 <sup>o</sup> – (71<sup>o</sup>55` 02``+1 <sup>o</sup>53` 13``) = 106 ^o11` 46``

α_D = α_AB ± φ =329^o07` 55``+ 39<sup>o</sup>10` 41``= 8<sup>o</sup>18` 36``

α_D`= α<sub>AC</sub> ± φ`=262^o07` 51``+ 106 <sup>o</sup>11` 46``= 8<sup>o</sup>18` 37``

 

Контроль:

 

(α_D – α'_D) õm_β;

 

где m_β –СКП измерения горизонтальных углов.

Знак «+» или «-» в формулах вычисления дирекционного угла берется в зависимости от взаимного расположения пунктов А, Р, В и С.

(8^o18` 36``-8<sup>o</sup>18` 37``) ≤ 30``

0^o00` 01`` ≤ 30``

 

Решение прямых задач (вычисление координат т.Р)

Обозначения	αD αD'	sinαD sinαD'	cosαD cosαD'	DcosαD DcosαD'	DsinαD Dsinα'D	∆Х - ∆Х' ∆Y - ∆Y'	ХА YА	Хp = ХА+ ∆Х Х'p = ХА+ ∆Х' Yp = YА+ ∆Y Y'p = YА+ ∆Y'
Численные значения	8o18'36"	0,14453	0,98950	172,69	25,22	∆=00,00 ∆=00,00 ∆доп=25см	6327,46	6500,15
	8o18'37"	0,14454	0,98950	172,69	25,22		12351,48	12376,70

 

Х_p = Х_А+ ∆Х,Y_p = Y_А+ ∆Y,

Х'_p = Х_А+ ∆Х',Y'_p = Y_А+ ∆Y'.

∆Х= Dcosα_D,∆Y= Dsinα_D,

∆Х'= Dcosα'_D,∆Y'=Dsinα'_D.

 

Расхождение координат не должно превышать величины õm_ß×p, где p=206265", m_ß – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Оценка точности определения положения пункта P.

Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формуле:

 

M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(D×m_α / P)²

 

где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m _α – точностью угловых измерений.

Пример: m_D =2см, m_α= 5``, тогда

 

M_p =√ [(0,02) ²+(170×5/2×10⁵)²] ≈ 2×10^-2 = 0,02м.

 

4.3 Решение прямой и обратной засечки (по варианту задания)

 

Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга).

Для однократной засечки необходимо иметь два твёрдых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твёрдого пункта.

Исходные данные: твердые пункты А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С).

Полевые измерения: горизонтальные углы β1, β ₂, β`<sub>1</sub>, β`_2.

Определяется пункт P.

Формулы для решения задачи:

 

Х_p -Х_А=((Х_B-Х_А) ctg β ₁+(Y_B-Y_А))/ (ctg β ₁+ ctg β ₂);

Х_p= Х_А+∆Х_А;

Y_p -Y_А=((Y_B-Y_А) ctg β ₁+(Х_B-Х_А))/ (ctg β ₁+ ctg β ₂); Y_p= Y_А+∆Y_А;

Оценка точности определения пункта P.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определения:

 

M₁ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₁;

M₂ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₂;

 

Значения величин, входящих в приведённые формулы следующие:

m_β =5``, p=206265``; γ=73˚15,9`; γ=62˚55,7`; S₁=1686,77 м; S₂=1639,80 м; S₃=2096,62 м.

Стороны засечки найдены из решения обратных задач.

 

M₁ = (5``×√2,86+2,69)/(2×10⁵×0,958)=0,06м.

M₂ = (5``×√2,69+4,41)/(2×10⁵×0,890)=0,07м.

M_r = √ (M₁² +M₂²); M_r =√ [(0,06) ²+(0,07) ²]=0,09м.

 

Расхождение между координатами из двух определений

r = √ [(Х_p- Х`<sub>p</sub>) <sup>2</sup>+(Y<sub>p</sub>- Y`_p) ²] не должно превышать величины 3 M_r;

r =√ [(2833,82-2833,82) ²+(2116,38-2116,32) ²]=√0,0036=0,06м.

На основании неравенства r =0,06м 3×0,09м логично сделать вывод о качественном определении пункта P.

За окончательные значения координат принимают среднее из двух определений.

Решение числового примера

β1   β2	XB XA	ctg β1 ctg β2 (XB- XA)ctg β1	YB YA	∆ XA XP = XA+∆XA	(YB-YA)ctgβ1		∆ YA YP=YA+∆YA
	XB- XA		YB-YA
		ctg β1 + ctg β2
52˚16.7'   52˚27.4'	1630.16 1380.25	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.00 1260.50	1453.57 2833.82	1523.39		855.88 2116.38
	+249.91		+1969.50
β'1   β'2	XC XB	ctg β'1 ctg β'2 (XC- XB)ctg β'1	YC YB	∆ XB XP = XA+∆XA	(YC-YB)ctgβ'1		∆ YB YP=YA+∆YA
	XC- XB		YC-YB
		ctg β'1 + ctg β'2
69˚48.5'   52˚27.4'	3401.04 1630.16	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.00	1203.56 2833.82		332.24		-1113.68 2116.32
	+1770.88		+903.41

                                                                     2833.82 2116.35

 

Определение координат пункта методом обратной засечки (аналитическое решение задачи Потенота).

Необходимо иметь три твёрдых пункта, для решения задачи с контролем используют четвёртый твердый пункт.

Исходные данные: А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С), D(X_DY_D).

Полевые измерения: горизонтальные углы γ₁, γ₂, γ₃.

Определяемый пункт P.

Формулы для вычисления:

 

1.ctgγ₁=а; ctgγ₂=b

2.k₁ =a(Y_B- Y_A)-(Х_B- Х_A);

3.k₂ =a(Х_B- Х_A)+(Y_B- Y_A);

4.k₃ =b(Y_С- Y_A)-(Х_C- Х_A);

5.k₄ =b(Х_C- Х_A)-(Y_C- Y_A);

6.c=(k₂ - k₄)/(k₁ - k₃)=ctga_AP;

7.контроль: k₂ - с k₁= k₁- с k₃;

8.∆Y=(k₂ - с k₁)/(1 - с²);

9.∆Х= с _AY;

10.Х_p = Х_А+ ∆Х, Y_p = Y_А+∆Y.

 

Решение численного примера

1	γ1 γ2 a=ctg γ1 b=ctg γ2	109˚48'42" 224˚15'21" -0.360252 +1.026320
2	XB XC XA	5653.41 8143.61 6393.71
	X'B = XB- XA X'C = XC- XA	-740.30 1749.90
	X'C- X'B = XC- XB	2490.20
	YB YC YA	1264.09 1277.59 3624.69
	Y'B = YB- YA Y'C = YC- YA	-2360.60 -2347.16
	Y'C- Y'B = YC- YB	13.5
3	k1 k3	+1590.71 -4158.78
	k1- k3	+5749.49
	k2 k4	-2093.91 -551.14
	k2- k4	-1542.77
	c = ctg α c2 + 1 k2-ck1 k4-ck3	-0.268332 1.072002 -1667.07 -1667.07
4	∆Y YA Y ∆X XA X	-1555.0 3624.65 +2069.56 +417.28 6393.71 +6810.99

 

Координаты из первого определения получились Х_p=6810,99м, Y_p =2069,56 м.

 Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т.е. пунктом А, B, C.

Исходными данными являются: γ₁=109^o48`42``; γ<sub>3</sub>=151<sup>o</sup>26`24``; Х_d=6524,81м, Y_d=893,64м.

Контроль осуществляется следующим образом: определить

 

ctgα_PD =(Х_D- Х_P)/(Y_D- Y_P), α_PD=256 ^o27`38``;

 

Из схемы первого решения имеем: С=ctgα _PA=-0,26833;

α_PD=105^o01`13``.

Контроль определяется пунктом P:

 

r=√ [(Х_P - Х`<sub>P</sub>) <sup>2</sup>+(Y<sub>P</sub> - Y`_P) ²] ≤ 3 M_r;

 

где r, как и в случае прямой засечки,

 

M_r=1/2×√ [M₁² +M₂²]

Предыдущая1234567Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: