 |
Необходимые определения и обозначения
|
|
|
|
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Необходимые определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения, примеры и общие свойства 
-перестановочных подгрупп
4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
– знак строгого включения множеств;
– знак включения множеств;
– принадлежность элемента множеству;
– объединение множеств;
– пересечение множеств;
– является подгруппой группы 
;
– является собственной подгруппой группы ;
– является максимальной подгруппой группы ;
– является нормальной подгруппой группы ;
– является субнормальной подгруппой группы ;
– является минимальной нормальной подгруппой группы ;
Скобки 
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
– подгруппа, сопряжённая подгрупп посредством элемента 
;
– циклическая группа порядка 
;
– симметрическая группа степени ;
– ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;
– подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами 
из 
, то есть 
;
– централизатор множества T в группе G;
– центр группы G;
– нормализатор подгруппы в группе ;
– наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;
– наибольшая нормальная 
–подгруппа группы ;
– 
–холловская подгруппа группы ;
– силовская –подгруппа группы ;
– дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. 
–холловская подгруппа группы ;
– группа G изоморфна группе 
;
|
|
|
Пусть – группа, и 
, тогда:
– правый смежный класс,
– левый смежный класс;
– правая трансверсаль подгруппы 
в группе ;
– левая трансверсаль подгруппы
в группе ;
– индекс подгруппы в группе ;
– порядок группы G;
Пусть и – подгруппы группы и , тогда:
– двойной смежный класс группы по подгруппам
и ;
– факторгруппа группы по подгруппе ;
– прямое произведение подгрупп A и B;
– цоколь группы ;
– коммутатор элементов 
и 
;
– коммутант группы G;
– множество всех простых чисел;
– дополнение к во множестве , где – некоторое множество простых чисел;
– -длина группы .
Введение
Напомним, что подгруппа 
группы перестановочна с подгруппой 
, если 
. Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в [7].
Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение 
также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.
Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [8].
Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].
Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , 
– нильпотентна [9].
Немного позже было доказано, что при таких условиях, 
[18].
При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа 
такая, что 
для некоторого 
.
Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.
|
|
|
Определение 1 Пусть , – подгруппы группы и 
. Тогда мы говорим, что:
(1) является 
-перестановочной с , если для некоторого 
имеем 
.
(2) является наследственно -перестановочной с 
, если 
для некоторого 
.
Заметим, что 
– перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с 
-перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].
Определение 2 Подгруппа группы называется (наследственно) 
-перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы 
.
Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.
Необходимые определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве 
называют отображение декартова квадрата 
во множество . Если 
– бинарная операция на 
, то каждой упорядоченной паре 
элементов из соответствует однозначно определенный элемент 
. Бинарную операцию на обозначают одним из символов: 
и т.д. Если, например, вместо 
условимся писать 
, то вместо 
пишем 
.
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если 
для всех 
.
Если 
для всех 
, то операция называется ассоциативной.
Если 
для всех , то операция называется коммутативной.
Элемент 
называется единичным, если 
для всех 
.
Обратным к элементу 
называется такой элемент 
, что 
.
Полугруппой называется непустое множество 
с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. 
для всех 
и 
;
(2) операция ассоциативна, т.е. 
для любых 
.
Группой называется непустое множество 
с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. 
для всех и 
;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых 
;
(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент 
, что 
для всех 
;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого 
существует такой элемент 
, что 
.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
|
|
|
Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в – порядком группы .
Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения 
, 
имеют решения для любых элементов 
.
Подмножество 
группы называется подгруппой, если 
– группа относительно той же операции, которая определена на группе 
. Для подгруппы используется следующее обозначение: 
. Запись читается так: – подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если 
для всех 
и 
Каждая группа обладает единичной подгруппой 
. Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы это такая подгруппа из , которая отлична от и отлична от единичной подгруппы 
.
Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть 
– подмножество группы и 
. Через
обозначим подмножество всех элементов группы вида 
, где 
пробегает все элементы множества . Подмножество 
называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента 
.
Подгруппа 
называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .
Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через 
. Таким образом,
Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через 
. Ясно, что 
, т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того,
Зафиксируем элемент 
в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через 
. Таким образом,
|
|
|
Для элемента 
имеются следующие две возможности.
Все степени элемента 
различны, т.е. 
для целых 
. В этом случае говорят, что элемент имеет бесконечный порядок.
Имеются совпадения 
при 
. Если, например, 
, то 
и 
, т.е. существуют натуральные степени элемента 
, равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число 
, при котором 
называют порядком элемента 
и пишут 
Если группа совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу называют циклической группой. В этом случае в группе имеется элемент такой, что 
, все элементы в группе являются целыми степенями элемента :
Если элемент имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе попарно различны и – бесконечная циклическая группа.
Если элемент имеет конечный порядок , то 
, т.е. циклическая группа , порожденная элементом порядка 
, состоит из элементов. В этом случае – конечная циклическая группа порядка .
Две группы и 
называются изоморфными, если существует биекция 
такая, что 
для всех 
. Факт изоморфизма записывают так: 
.
Пусть – группа, и 
. Правым смежным классом группы по подгруппе 
называется множество
всех элементов группы вида 
, где 
пробегает все элементы подгруппы 
.
Аналогично определяется левый смежный класс
Пусть – подгруппа группы . Подмножество 
элементов группы называется правой трансверсалью подгруппы в группе , если содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы по подгруппе . Итак, если
– правая трансверсаль подгруппы в группе , то
– конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе 
также будет конечно, оно называется индексом подгруппы 
в группе и обозначается через 
. Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе 
совпадает с числом элементов в правой трансверсали 
подгруппы , т.е.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы в группе . Если
– левая трансверсаль подгруппы в группе , то
Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе 
совпадает с числом элементов в левой трансверсали 
подгруппы , т.е. 
.
Пусть и 
– подгруппы группы 
и 
. Множество
называется двойным смежным классом группы по подгруппам и 
.
При 
двойной смежный класс
превращается в произведение подгрупп и . В общем случае 
не является подгруппой.
Говорят, что подгруппы и перестановочны, если 
. Равенство 
означает, что для любых 
существуют 
такие, что 
.
Если 
, то говорят, что группа есть произведение своих подгрупп 
и 
, либо группа факторизуема подгруппами 
и . В этом случае каждый элемент представим в виде 
, где 
.
|
|
|
Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если 
для всех 
.
Запись 
читается так: – нормальная подгруппа группы 
Равенство 
означает, что для любого элемента 
существует элемент 
такой, что 
.
В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа 
и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу 
считают непростой группой.
Пусть 
– нормальная подгруппа группы . Обозначим через 
совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе 
, т.е.
Группа 
называется факторгруппой группы по подгруппе 
и обозначается через 
.
Пусть 
– простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого 
.
Силовской p-подгруппой конечной группы называют такую 
-подгруппу, индекс которой не делится на .
Каждая нормальная подгруппа 
группы определяет цепочку 
. Обобщая эту ситуацию, цепочку
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .
Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. 
для 
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в 
, то пишут (
).
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Пусть – группа, 
и 
– ее подгруппы. Напомним, что произведение 
определяется как множество элементов 
, где 
, 
. Если 
, то говорят, что группа является произведением своих подгрупп и 
. В этом случае каждый элемент представим в виде 
, где , .
Произведение 
называется прямым, если подгруппы 
и 
нормальны в и 
. Прямое произведение обозначают так: 
. Итак, группа 
|
|
|
