 |
Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной и его приложения. Неопределенный интеграл» - 50 баллов
|
|
|
|
Программа.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
(1 курс, осенний семестр). МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
I. Коллоквиум №1 на тему «Числовые последовательности и комплексные числа» - 15 баллов
1. Логическая символика.
2. Множества и простейшие операции над множествами.
3. Числовые множества (N, Q, J, R). Геометрическая интерпретация множества действительных чисел (числовая ось, числовая прямая, расширенная числовая ось (прямая)). Важнейшие числовые множества действительных чисел: промежутки (отрезок, интервал, полуинтервал), неограниченные промежутки, окрестности.
4. Понятие эквивалентности множеств, мощности множеств.
5. Счетные и несчетные множества. Свойства счетных множеств. Континуум.
6. Множество комплексных чисел. Понятие аргумента комплексного числа и его главного значения. Понятие мнимой единицы. Формы записи комплексного числа. Алгебраические операции над комплексными числами.
7. Абсолютная величина (модуль) действительного числа. Свойства абсолютной величины.
8. Понятие числовой последовательности, способы задания, примеры.
9. Геометрическое изображение членов последовательности.
10. Последовательности, ограниченные сверху (снизу). Ограниченные и неограниченные числовые последовательности, геометрическая иллюстрация.
11. Предел числовой последовательности (определение на языке кванторов). Геометрический смысл предела числовой последовательности. Предельная точка. Определение номера 
по 
. Пример 
.
12. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Необходимое условие сходимости и достаточное условие расходимости числовой последовательности.
13. Сходящиеся последовательности и их свойства.
|
|
|
14. Основные операции над последовательностями.
15. Бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
16. Бесконечно большие последовательности, их свойства.
17. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
18. Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности к пределу "а".
19. Теоремы о конечных пределах и о предельных переходах в неравенствах.
20. Теорема о сжатой последовательности.
21. Точная верхняя и точная нижняя грань числовой последовательности.
22. Монотонные последовательности.
23. Критерий Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности.
24. Неравенство Бернулли. Понятие числа 
. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
II. Коллоквиум №2 «Функции одной действительной переменной:
Предел функции в точке, непрерывность, точки разрыва.
Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной и его приложения. Неопределенный интеграл» - 50 баллов
1. Числовая функция: определение, способы задания, основные характеристики поведения (четность, периодичность, монотонность и т.д.), сложная функция, ограниченная функция.
2. Основные элементарные функции. Класс элементарных функций.
3. Предел функции в точке: определение по Коши, определение по Гейне, геометрическая иллюстрация.
4. Эквивалентность определений предела функции в точке по Коши и по Гейне.
5. Левый и правый предел функции в точке, геометрическая иллюстрация. Теоремы о левом и правом пределе, о единственности предела, о конечных пределах.
6. Предел функции в бесконечности, геометрическая иллюстрация. Бесконечно большие функции и их свойства.
7. Бесконечно малые функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых функций.
8. Первый и второй замечательные пределы.
9. Непрерывность функции в точке, геометрическая иллюстрация. Основные элементарные функции. Теорема о непрерывности элементарных функций.
|
|
|
10. Точки разрыва функции и их классификация.
11. Понятие производной функции в точке. Геометрическая иллюстрация точек, в которых производная не существует.
12. Связь дифференцируемости и непрерывности функции.
13. Таблица производных, основные правила дифференцирования, производная сложной и неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
14. Производная обратной и параметрически заданной функции.
15. Уравнение касательной и нормали к кривой.
16. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
17. Производные высших порядков.
18. Дифференциалы высших порядков. Теорема об инвариантности дифференциала 1-го порядка.
19. Свойства функций непрерывных на отрезке.
20. Дифференцируемые в интервале функции: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
21. Правило Лопиталя и его применение.
22. Формулы Тейлора и Маклорена, разложение элементарных функций по формуле Тейлора и Маклорена.
23. Монотонные функции. Теорема о взаимосвязи характера монотонности дифференцируемой на интервале функции со знаком производной.
24. Внутренние локальные экстремумы функции: понятие и геометрический смысл.
25. Необходимый признак существования экстремума функции.
26. Первый достаточный признак существования локального экстремума для непрерывной функции.
27. Второй достаточный признак существования экстремума функции в терминах высших производных.
28. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
29. Выпуклые и вогнутые функции. Критерий строгой выпуклости (вогнутости) функции.
30. Критерий строгой выпуклости (вогнутости) для дважды дифференцируемой в интервале функции.
31. Понятие точки перегиба. Необходимый признак существования у функции точки перегиба.
32. Первый и второй достаточные признаки существования у функции точек перегиба.
33. Асимптоты к графику функции и способы их отыскания.
34. Алгоритм исследования функции и построения ее графика.
35. Понятие первообразной, терема о структуре первообразных, геометрическая иллюстрация.
36. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
37. Непосредственное интегрирование (таблица неопределенных интегралов). Интегрирование гиперболических функций.
|
|
|
38. Подведение функции под знак дифференциала, метод подстановки.
39. Интегрирование по частям. Таблица некоторых интегралов к которым применим метод интегрирования по частям.
40. Понятие рациональной дроби (правильной и неправильной), теорема о связи неправильной и правильной рациональных дробей. Виды простейших рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие. Методы нахождения неопределенных коэффициентов: метод частных значений, метод сравнения неопределенных коэффициентов при одинаковых степенях, комбинированный метод.
41. Интегрирование простейших дробей I-IV типов. Правило нахождения интегралов от дробно-рациональных функций.
42. Метод Остроградского при интегрировании правильной рациональной дроби со знаменателем, имеющим кратные корни.
43. Интегрирование простейших иррациональных функций и биномиальных дифференциалов (таблица).
44. Интегрирование простейших тригонометрических функций (таблица).
45. Подстановки Эйлера.
46. Основные интегралы, которые не берутся в элементарных функциях.
Задачи
При выполнении практических заданий студенты должны уметь:
1. Переводить одну форму записи комплексного числа в другую, выполнять арифметические действия с комплексными числами, решать уравнения с комплексными корнями.
2. Находить пределы числовых последовательностей и функций.
3. Сравнивать бесконечно малые функции;
4. Исследовать функцию на непрерывность,
5. Определять характер точек разрыва;
6. Находить производные функций.
7. Применять правило Лопиталя для вычисления пределов.
8. Составлять уравнения касательной и нормали к кривой.
9. Раскладывать функцию по формуле Тейлора и Маклорена.
10. Находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
11. Проводить полное исследование функции и строить ее график.
12. Вычислять неопределенные интегралы.
Примерные вопросы для диктанта на коллоквиуме №1 (вопросы могут быть другими! Это лишь примерный образец)
|
|
|
- Дайте определение множества комплексных чисел.
- Дайте определение аргумента комплексного числа и его главного значения.
- Запишите формулу для нахождения главного значения аргумента комплексного числа в пределах
. - Запишите три формы записи комплексного числа.
- Формула Муавра.
- Формула для нахождения корня из комплексного числа.
- Дайте определение предела числовой последовательности на языке кванторов:
- Дайте определение сходящейся числовой последовательности.
- Дайте определение бесконечно малой числовой последовательности (словами и на языке кванторов).
- Дайте определение бесконечно большой числовой последовательности….
- Дайте определение ограниченной числовой последовательности на языке кванторов.
- Сформулируйте необходимый признак сходимости числовой последовательности.
- Сформулируйте достаточный признак расходимости числовой последовательности.
- Дайте определения 4-х видов монотонных последовательностей: название — неравенство.
- Дайте определение точной верхней грани числовой последовательности (
) и точной нижней грани (
). - Сформулируйте критерий Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности.
- Сформулируйте теорему о связи сходящейся последовательности с бесконечно малой.
- Сформулируйте теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
- Дайте определение числа e (экспоненты).
- Дайте определение фундаментальной числовой последовательности на языке кванторов.
- Сформулируйте критерий Коши о сходимости фундаментальной последовательности.
- Сформулируйте теорему о предельных переходах в неравенствах.
- Сформулируйте теорему Коши о конечных пределах.
Примерные вопросы для диктанта на коллоквиуме №2 (вопросы могут быть другими!)
1. Запишите первый замечательный предел и следствия из него.
2. Запишите второй замечательный предел и следствия из него.
3. Дайте определение непрерывной функции на языке пределов.
4. Дайте определение непрерывной функции на языке кванторов.
5. Дайте определение непрерывной функции на языке приращений.
6. Дайте определение точки разрыва.
7. Дайте определение точки разрыва первого рода.
8. Дайте определение точки разрыва второго рода.
9. Дайте определение устранимого разрыва.
10. Дайте определение скачка.
11. Сформулируйте теорему Ролля.
12. Сформулируйте теорему Лагранжа.
13. Сформулируйте теорему Коши.
14. Сформулируйте правило Лопиталя.
15. Дайте определение точки максимума и минимума функции.
16. Сформулируйте необходимый признак экстремума функции.
17. Сформулируйте первый достаточный признак экстремума функции.
|
|
|
18. Сформулируйте второй достаточный признак экстремума функции.
19. Дайте определение выпуклой и вогнутой функции.
20. Сформулируйте критерий строгой выпуклости (вогнутости) графика функции.
21. Сформулируйте необходимый признак точки перегиба графика функции.
22. Сформулируйте первый достаточный признак существования у функции точки перегиба.
23. Сформулируйте второй достаточный признак существования у функции точки перегиба.
24. Дайте определение асимптоты графика функции.
25. Выпишите три вида асимптот и правила их нахождения.
- Дайте определение первообразной.
- Сформулируйте теорему о структуре всех первообразных.
- Дайте определение неопределенного интеграла.
- Запишите формулу интегрирования по частям.
- Запишите виды интегралов, для которых применим метод интегрирования по частям и укажите, что в этих интегралах обозначается за
и за 
. - Запишите четыре вида простейших дробей со всеми ограничениями.
- Дайте определение рациональной дроби.
- Какая рациональная дробь называется правильной, а какая нет?
- Сформулируйте правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие.
- В чем состоит метод частных значений для нахождения неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на простейшие?
- В чем состоит метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях
для нахождении неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на простейшие? - В чем состоит комбинированный метод для нахождения неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на простейшие?
- Какая замена применяется при интегрировании простейшей дроби третьего типа (метод выделения полного квадрата).
- Какой метод интегрирования используется при интегрировании простейшей дроби четвертого типа (для получения рекуррентного соотношения).
- Запишите универсальную тригонометрическую подстановку. Как через нее выражаются тригонометрические функции
и 
. - Какая замена применяется при вычислении интеграла вида
, 
— рациональная функция, если подынтегральной тригонометрическое выражение нечетно относительно функции : 
? - Какая замена применяется при вычислении интеграла вида , — рациональная функция, если подынтегральной тригонометрическое выражение нечетно относительно функции :
? - Какая замена применяется при вычислении интеграла вида , — рациональная функция, если подынтегральной тригонометрическое выражение четно относительно функций и :
? - С помощью каких трех формул (понижения степени) вычисляется интеграл вида
, где m и n – четные неотрицательные целые числа. - С помощью последовательного применения какой формулы вычисляется интеграл
- С помощью последовательного применения какой формулы вычисляется интеграл
- Укажите при помощи какой замены вычисляется интеграл
. - Укажите при помощи какой замены вычисляется интеграл
. - Укажите при помощи какой замены вычисляется интеграл
- Какие тригонометрические замены используются при интегрировании иррациональных выражений вида
, 
, 
. - Как выделить полный квадрат для интеграла
. Укажите соответствующую замену. - Запишите формулу приведения Остроградского для интеграла
. Неопределенные коэффициенты не находите. - Укажите обратную замену для интеграла
. - Дайте определение дифференциального бинома и укажите все подстановки Чебышева, которые применяются для его интегрирования.
- Запишите с названиями все интегралы, не берущиеся в элементарных функциях.
|
|
|
