Интегралы в курсе «Механика грунтов»

Проанализировано содержание курса «Механика грунтов» с точки зрения использования в нем понятия интеграла, методов их вычисления.

Ключевые слова: интеграл, механика, грунты.

При подготовке специалистов в области промышленного, гражданского, транспортного, сельскохозяйственного и других видов строительства осваиваются геотехнические дисциплины, изучение которых требует знание основ по методам расчета грунтов. Среди геотехнических дисциплин особое место занимает курс «Механика грунтов», который выделен в самостоятельную дисциплину и является теоретической подготовкой по другим дисциплинам, включающих грунтоведение, инженерную геологию, основания и фундаменты.

В работе Карташова В.Ф. [1] проведен анализ межпредметных связей курсов математики в ЧИПСе и «Механики грунтов». Почти треть от числа всех связей приходится на интеграл и его применение. Это свидетельствует о том, что данный раздел математики является профессионально значимым при подготовке будущих строителей железных дорог.

Покажем, каким образом понятие интеграла используется в курсе «Механика грунтов». Вычисление интегралов используется в теме «Растяжение и сжатие». Чтобы более детально разобраться, рассмотрим пример, в котором с помощью интегрирования мы найдем деформацию и перемещение.

На примере вывода формулы осадки в задаче Фламана, который взят из пособия [2], покажем, как определяются деформации и перемещения, если известны напряжения. Согласно закону Гука и уравнениям Коши,

Отсюда после подстановки выражения для напряжений и интегрирования получаем:

где f(x) — произвольная функция х.

Входящие в это выражение интегралы можно найти в любой справочной таблице интегралов:

После их подстановки получим:

Осадки точек поверхности основания получим, положив здесь

z = 0, w = s:

Предположим, что при х = ± x₀ имеем s = s₀. Тогда

Подставив значение f(x) в предыдущее выражение, окончательно получим:

где С — произвольная постоянная в силу произвольности величины sq.

Таким образом, в задаче Фламана осадку можно определить только с точностью до произвольного слагаемого. [1 с.134-135]

Далее рассмотрим пример с использованием определенных интегралов в «Механике грунтов» из темы «Задача о равномерной полосовой нагрузке (задача Мичелла, 1902 г).

Задача является важной в практическом отношении, поскольку считается, что ленточный фундамент создает равномерное полосовое давление на основание. В этом же случае наиболее просто выполняется интегрирование в формулах. Однако предпочтительнее получить решение в переменных r ,θ, используя в качестве исходных формулы задачи Фламана. Полученные при этом выражения имеют более компактный вид.

Приложенное к полоске давление p₀ заменим элементарной сосредоточенной силой:

Используя формулы, определим бесконечно малые значения напряжений:

В результате интегрирования имеем:

(1)

Эти формулы можно преобразовать к более компактному виду, если ввести углы β, δ с помощью равенств:

Подставляя пределы интегрирования и заменяя углы θ₁ и θ₂ на β и δ, имеем:

теперь формулы (1) могут быть переписаны так:

В соответствии с этими формулами показано распределение компонент напряжений в двух вертикальных и горизонтальных сечениях в основании.[1]

Чтобы правильно (расчитать) оценить инженерно-геологические условия площадок строительства, свойства грунтов в основаниях и совместную работу этих грунтов с деформирующими фундаментами и коснтрукциями сооружений, рациональность выбранных типов оснований, качество выполнения работ, нужно правильно произвести математические расчеты с использованием интеграла для надежности основания и фундаментов и удешевления работ.

Таким образом, мы определили главные напряжения и убедились, что с применением интегрирования решать подобные задачи можно намного легче.

Список литературы

1. Карташов В.Ф. Начала анализа с профессиональной направленностью. – Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2016.

2. Механика грунтов: Учебник для вузов ж.-д. транспорта / Ю.И.Соловьев и др.; Под ред. А.М. Караулова, - М.:ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте»,2007, - 286 с. ISBN 978-5-89035-477-8

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: