Центральная предельная теорема
Предельные теоремы теории вероятностей Неравенство Чебышева Рассмотрим ряд утверждений и теорем из большой группы так называемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Они составляют основу математической статистики. Предельные теоремы условно делят на две группы. Первая группа теорем, называемая законом больших чисел, устанавливает устойчивость средних значений, т.е. при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью. Вторая группа теорем, называемая центральной предельной, устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному. В начале рассмотрим неравенство Чебышева, которое можно использовать для: а) грубой оценки вероятностей событий, связанных со случайными величинами, распределение которых неизвестно; б) доказательства ряда теорем закона больших чисел. Теорема 7.1. Если случайная величина X имеет математическое ожидание
Отметим, что неравенство Чебышева можно записать в другой форме:
В форме (7.2) оно устанавливает нижнюю границу вероятности события, а в форме (7.1) – верхнюю. Неравенство Чебышева справедливо для любых случайных величин. В частности, для случайной величины
для частости
Оценку вероятности попадания случайной величины Х в промежуток
Теорема 7.2 (Неравенство Маркова). Для любой неотрицательной случайной величины Х, имеющей математическое ожидание MX и
Неравенство (7.5) можно переписать в виде
Пример 7.1. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания будет меньше трех средне квадратических отклонений, т.е. меньше Решение: Полагая
Эта оценка называется правилом трех сигм.
Теорема Чебышева Основное утверждение закона больших чисел содержится в теореме Чебышева. В ней и других теоремах закона больших чисел используется понятие «сходимости случайных величин по вероятности». Случайные величины (или
Следует отметить, что сходимость по вероятности требует, чтобы неравенство
Теорема 7.3 (Закон больших чисел в форме П.Л. Чебышева). Если случайные величины
т.е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:
Доказательство. Так как
Тогда, применяя к случайной величине
Переходя к пределу при
Следствие. Если случайные величины
т.е. среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к математическому ожиданию а: Доказательство. Так как
а дисперсии случайных величин
Следствие теоремы Чебышева обосновывает принцип «среднего арифметического» случайных величин Хi, постоянно используемый на практике. Так, пусть произведено n независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой а (оно неизвестно). Результат каждого измерения есть случайная величина Хi. Согласно следствию, в качестве приближенного значения величины а можно взять среднее арифметическое результатов измерений:
Равенство тем точнее, чем больше n. На теореме Чебышева основан также широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого в том, что о качестве большого количества однородного материала можно судить по небольшой его пробе. Теорема Чебышева подтверждает связь между случайностью и необходимостью: среднее значение случайной величины
Теорема Бернулли Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она теоретически обосновывает свойство устойчивости относительной частоты. Теорема 7.4 (Закон больших чисел в форме Я. Бернулли). Если вероятность появления события А в одном испытании равна р, число наступления этого события при n независимых испытаниях равно
т.е относительная частота Доказательство. Введем случайные величины
Математическое ожидание и дисперсия случайных величин
при любом i. Таким образом, случайные величины Xi независимы, их дисперсии ограничены одним и тем же числом Поэтому к этим случайным величинам можно применить теорему Чебышева
Но
Следовательно,
Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты. Так, например, за вероятность рождения девочки можно взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближенно равна 0,485.
Неравенство Чебышева (7.2) для случайных величин
принимает вид
Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда вероятности pi появления события А в каждом из n испытаний различны, является теорема Пуассона:
где pi - вероятность события А в i- м испытании.
Пример 7.2. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2. Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем 0,05. Решение: Воспользуемся формулой (7.11). В данном случае
Центральная предельная теорема Центральная предельная теорема представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайной величины и его предельной формой - нормальным законом распределения. Сформулируем центральную предельную теорему для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение. Эта теорема чаще других используется на практике. В математической статистике выборочные случайные величины имеют одинаковые распределения, так как получены из одной и той же генеральной совокупности. Теорема 7.5. Пусть случайные величины
Из соотношения (7.13) следует, что при достаточно большом n сумма Zn приближенно распределена по нормальному закону:
Напомним, что: 1. Случайная величина X называется центрированной и нормированной (т.е. стандартной), если MX = 0, a DX = 1. 2. Если случайные величины
3.
Формула (7.13) позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин. Так, перейдя от случайной величины к стандартной случайной величине, получим:
Или
Формула (7.14) определяет вероятность того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах. Часто центральную предельную теорему используют, если n> 10. Пример 7.3. Независимые случайные величины Решение: Условия центральной предельной теоремы соблюдаются, поэтому случайная величина Y имеет приближенно плотность распределения
По известным формулам для математического ожидания и дисперсии в случае равномерного распределения находим:
Тогда
Поэтому
Используя формулу (7.14), находим
т.е.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|