Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Проверка гипотез о законе распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайно величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, биномиальный или какой-либо другой.

Пусть необходимо проверить гипотезу Н ₀ о том, что случайная величина X подчиняется определенному закону распределения, заданному функцией распределения , т.е. Н ₀: . Под альтернативной гипотезой Н ₁ будем понимать в данном случае то, что просто не выполнена основная (т.е. Н ₁: ).

Для проверки гипотезы о распределении случайной величины X проведем выборку, которую оформим в виде статистического ряда:

				…
				…

где - объем выборки.

Требуется сделать заключение: согласуются ли результаты наблюдений с высказанным предположением. Для этого используем специально подобранную величину - критерий согласия.

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Он используется для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др.

Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения.

10.4. Критерий Пирсона

Для проверки гипотезы Н ₀ поступают следующим образом.

Разбивают всю область значений случайной величины X на m интервалов ∆₁, ∆₂,..., ∆_n и подсчитывают вероятности попадания случайной величины X в интервал ∆ _i, используя формулу

Тогда теоретическое число значений случайной величины X, попавших в интервал ∆ _i, можно рассчитать по формуле . Таким образом, имеем статистический ряд распределения случайной величины X и теоретический ряд распределения:

∆₁	∆₂	…	∆_m
		…

Если эмпирические частоты () сильно отличаются от теоретических (), то проверяемую гипотезу Н ₀ следует отвергнуть, а в противном случае - принять.

Необходим критерий, характеризующий степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В качестве меры расхождения между и К. Пирсон (1857-1936; англ. математик, статик, биолог, философ) предложил величину («критерий Пирсона»):

. (10.1)

Согласно теореме Пирсона, при статистика имеет - распределение с степенями свободы, где m - число групп (интервалов) выборки, r - число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение нормально, то оценивают два параметра (а и σ), поэтому число степеней свободы .

Правило применения критерия сводится к следующему:

1. По формуле (10.1) вычисляют - выборочное значение статистики критерия.

2. Выбрав уровень значимости а критерия, по таблице -распределения находим критическую точку (квантиль) .

3. Если , то гипотеза Н ₀ не противоречит опытным данным. Если то гипотеза Н ₀ отвергается.

Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений, т.е. . Если в отдельных интервалах их меньше, то число интервалов надо уменьшить путем объединения (укрупнения) соседних интервалов.

Пример 10.8. Измерены 100 обработанных деталей. Отклонения от заданного размера приведены в таблице:

	[-3, -2)	[-2, -1)	[-1,0)	[0,1)	[1,2)	[2,3)	[2,3)	[4,5)

Проверить при уровне значимости гипотезу отом, что отклонения от проектного размера подчиняются нормальному закону распределения.

Решение:

Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединим их с соседними. Получим следующий ряд распределения ():

	[-3, -1)	[-1, -0)	[0,1)	[1,2)	[2,3)	[3,5)

Случайную величину - отклонение - обозначим через X. Для вычисления вероятностей необходимо вычислить параметры, определяющие нормальный закон распределения . Их оценки вычислим по выборке:

Находим . Так как случайная величина определена на , то крайние интервалы в ряде распределения заменяем, соответственно, на и Тогда

Аналогично получаем:

, , , , .

Полученные результаты приведем в следующей таблице:

(-∞,-1)	[-1,0)	[0,1)	[1,2)	[2,3)	[3,∞)

13,14	16,67	22,58	21,83	15,03	10,75

Вычисляем :

Находим число степеней свободы. По выборке рассчитаны два параметра, значит, .

Количество интервалов 6, т.е. . Следовательно, .

Зная, что и , по таблице -распределения находим .

Итак, , следовательно, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу.

Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения с функцией распределения непрерывной случайной величины X.

Пусть - конкретная выборка из распределения с неизвестной непрерывной функцией распределения и - эмпирическая функция распределения. Выдвигается простая гипотеза H ₀: (альтернативная H ₁: , x R).

Сущность критерия Колмогорова состоит в том, что вводят в рассмотрение функцию

, (10.2)

называемой статистикой Колмогорова, представляющей собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения от гипотетической (т.е. соответствующей теоретической) функции распределения .

Колмогоров доказал, что при закон распределения случайной величины независимо от вида распределения случайной величины X стремится к закону распределения Колмогорова:

где К (х) - функция распределения Колмогорова, для которой составлена таблица, ее можно использовать для расчетов уже при n ≥ 20:

	0, 1	0,05	0,02	0,01	0,001
x ₀	1,224	1,358	1,520	1,627	1,950

Найдем такое, что .

Рассмотрим уравнение . С помощью функции Колмогорова найдем корень этого уравнения. Тогда по теореме Колмогорова,

откуда

Если , то гипотезу Н ₀ нет оснований отвергать; в противном случае - ее отвергают.

Пример 10.9. Монету бросали 4040 раз (Бюффон). Получили выпадений герба и выпадений решки. Проверить, используя а) критерий Колмогорова; б) критерий Пирсона, согласуются ли эти данные с гипотезой о симметричности монеты .