 |
Основная теорема кинематики твердого тела
|
|
|
|
Сложное движение точки
О движении тела судят по движению каждой его точки. Ранее мы рассматривали движение точки в некоторой системе координат, которая условно принималась за неподвижную. Однако на практике приходиться решать задачи, в которых известно, как движется точка относительно одной системы координат и требуется выяснить, как она движется относительно другой системы координат, если известно, как эти системы координат движутся друг относительно друга. Чтобы описывать движение точки, переходя от одной системы координат к другой, необходимо установить, как связаны между собой величины, характеризующие движение точки в этих системах. С этой целью одну систему координат принимают условно за неподвижную, а другую за подвижную и вводят понятия абсолютного, относительного и переносного движения точки.
Абсолютное движение – движение точки в неподвижной системе координат.
Относительное движение – движение точки в подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижного пространства относительно неподвижного.
Задачи, в которых задано переносное движение и нужно найти абсолютное движение, называются задачами на сложение движений.
В ряде случаев приходится решать обратную задачу.
Рациональным выбором подвижной системы координат – часто удаётся сложное абсолютное движение точки свести к двум простым: относительному и переносному. Такие задачи называются задачами на разложение движений.
Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной системе координат называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.
Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называют относительной скоростью и относительным ускорением.
|
|
|
Переносной скоростью и переносным ускорением движущейся точки называют абсолютную скорость и абсолютное ускорение той точки подвижного пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.
Все полученные ранее результаты для скорости и ускорения полностью применимы к относительному движению, ибо при их выводе мы не накладываем никаких ограничений на выбор системы координат.
Закон сложения скоростей
Закон сложения скоростей определяет связь между скоростями точки М в неподвижной системе координат XYZ и подвижной системе координат 
.
– закон сложения скоростей.
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Перейдём к рассмотрению движения абсолютно твёрдого тела (АТТ). Твёрдое тело состоит из бесконечного числа точек, однако, как будет показано позднее, для описания движения АТТ нет необходимости задавать движение каждой его точки.
Основная теорема кинематики твердого тела
Неизменность расстояния между точками твердого тела приводит к зависимости между скоростями отдельных точек. Эта зависимость выражается следующей основной теоремой кинематики твердого тела: проекции скоростей двух любых точек твердого тела на отрезок, их соединяющий, равны.
Для доказательства рассмотрим произвольные точки А и В твердого тела.
Положения точек А и В в пространстве зададим радиусами-векторами 
и 
. Направленный отрезок, проведенный из точки А в точку В можно рассматривать как вектор 
, направление которого в процессе движения тела меняется, а модуль сохраняется постоянным (в силу неизменности расстояния между точками твердого тела). Данный вектор можно представить в виде 
. Дифференцируя это равенство по времени, получаем
. (2.1)
Для определения вектора 
заметим, что 
, где AB модуль вектора . Так как АВ не изменяется с течение времени, то, продифференцировав это равенство по t, получим:
|
|
|
,
т.е. скалярное произведение вектора на его производную равно нулю. Это означает, что производная от вектора направлена перпендикулярно к самому вектору :
.
Проектируя теперь каждую часть равенства (2.1) на , получим:
пр. 
– пр. 
=0
или
,
что и доказывает сформулированную теорему.
|
|
|
