Раздел «Теоретическая механика»

В задачах статики приходится рассматривать равновесие несвобод­ных тел, лишенных возможности перемещаться в направлении действия приложенных к ним так называемых активных сил. Тела, ограничиваю­щие движение рассматриваемого тела, называются связями. Между телом и связью на основании закона равенства действия и противодействия возникают равные и противоположно направленные силы взаимо­действия.

Сила, с которой связь действует на рассматриваемое тело, назы­вается реакцией связи или просто реакцией.

Сила, с которой тело действует на связь, называется силой давле­ния на связь. Таким образом, сила реакции и сила давления на связь – две равные по модулю силы, имеющие противоположное направление.

Задачи на равновесие несвободных тел решаются втакой после­довательности:

1. Выяснить, какое тело (точка) в данной задаче находится всостоянии равновесия, и приложить к нему заданные силы.

2. Выделенное тело освободить от связей и их действие заменить силами реакций.

3. Выбрать направление координатных осей.

4. Составить уравнения равновесия в одном из двух видов: Σ x_i = 0; ΣМ_A=0; ΣМ_В= 0; либо ΣХ_i= 0; ΣY_i=0; ΣМ_В = 0.

5. Решить уравнения равновесия.

6. Проверить правильность решения задачи.

Методику решения задач с помощью уравнений равновесия рассмот­рим на примерах.

Для решения первой задачи (№ 1-20), которая относится к теме 1.2 «Плоская система произвольно расположенных сил», требуется составить уравнения проекций на координатные оси и уравнения моментов.

Проекция вектора – скалярная величина, которая определяется отрезками, отсекаемыми перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси (рис. 1, а), и отрицательной (—) если проекция направлена в противо­положную сторону (рис. 1,б).

 

 

 

Рис. 1

 

Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо, т. е. на длину перпендикуляра, восставленного из точки, относительно которой берется момент, к линии действия силы. Момент принято считать положительным, если он стремится повернуть тело по часовой стрелке (рис. 2, а), и отрицательным (рис. 2, б), если вращение направлено в противоположную сторону.

 

 

Рис. 2

 

Между моментом пары и моментами сил пары относительно любой точки существует такая важная зависимость: алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки — величина постоянная для данной пары и равна ее моменту. Так как пара сил не имеет равно­действующей, ее нельзя уравновесить одной силой.

Момент пары сил в СИ выражается в ньютонометрах (Н·м) или в единицах, кратных ньютонометру: кН·м, МН·м и т. д.

Пример 1. Однородная балка закреплена в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается в точке В стержнем (рис. 3, а). Найти реакции шарнирно-неподвижной опоры и стержня ВС. Силой тяжести балки и стержня пренебречь.

Рис. 3

При рассмотрении пространственной системы сил необходимо ввести понятие о моменте силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси с плос­костью.

Последовательность определения момента силы F относительно оси z (рис. 2, в): а) задают модуль и направление силы F; б) указывают координатные оси; в) перпендикулярно оси выбирают плоскость XOY; г) силу F проецируют на эту плос­кость и определяют модуль F_xy этой про­екции; д) опустив перпендикуляр из на­чала координат на проекцию F_xy, опре­деляют плечо а = О К; е) определяют момент M₂(F) = F_xya.

Момент силы относительно оси ра­вен нулю, если сила и ось лежат в
одной плоскости: а) сила действует вдоль оси; б) сила F пересекает
ось z; в) сила F параллельна оси z.

Решение. Изобразим балку вместе с нагрузками, соблюдая заданные размеры ее участков и угла а (рис. 3, б).

Освободим балку от связей в точках А и В, заменив эти связи их реакциями. Начало координат поместим в точке А, ось х совместим с осью балки, а ось у направим перпендикулярно балке. Если стержень растягивается, то его реакция направлена в сторону от рассматриваемого тела, а при сжатии – от стержня к телу.

Составим три уравнения равновесия:

Σ X_i = 0 – алгебраическая сумма проекций сил на ось х;

Σ Y_i = 0 – алгебраическая сумма проекций сил на ось у;

Σ М_А = 0 – алгебраическая сумма моментов относительно точки А.

Уравнение проекций сил на ось х имеет вид

Силы F и Y_A не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси х и их проекции на эту ось равны нулю. Проекции силы на ось у

реакция Х_А перпендикулярна оси у и ее проекция на эту ось равна нулю. Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы R_B равно длине перпендикуляра, восставленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы R_B. Из рис. 3, б видно, что AD = (а + b)cos60°.

Подставив числовые значения, получим

Выразим из (2)

Подставив значения сил, получим

 

Из (1)

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

Подставим числовые значения 3000 • 4 – 2000 – 4000 • 2,5 = 0; 12000 – 12000 = 0.

Задача решена верно, так как при подстановке получили тож­дество 0 = 0.

Вторую задачу контрольной работы (№ 21-30) можно решать после изучения тем 1.3 «Пара сил» и 1.4 «Плоская система произвольно расположенных сил».

Напомним, что в шарнирно-подвижной опоре А реакция направ­лена по нормали к опорной поверхности (рис. 4, б). Модуль и направ­ление реакции шарнирно-неподвижной опоры В неизвестны. В этом слу­чае реакцию R_B заменяют двумя составляющими: вертикальной Y_B и горизонтальной Х_в. Освобожденная от связей балка изображена на рис. 4, б. Порядок решения подобных задач такой же, как в при­мере 1.

Рис. 4

 

Пример 2. Для балки (рис. 5, а)определить опорные реакции по следующим данным: а =1,5 м, b = 1 м, с = 2 м, F₁ = 8 кН, F₂ = 10 кН, q = 0,4 кН/м, М = 5 кН·м.

Рис. 5

 

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и прило­жив вместо них неизвестные реакции (рис. 5, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равно­весия:

Уравнения моментов относительно точки А:

Уравнение моментов относительно точки В:

Из первого уравнения

Из второго уравнения

Значение реакции R_B получено со знаком минус. Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки со­ставляем уравнение ΣY=0; R_A – F ₁ – qc+F₂+R_B = 0, или 4,8 – 8 – 2·0,4+10 – 6 = 14,8 – 14,8 = 0.

Следовательно, R_A и R_B определены верно.

Третью задачу контрольной работы (31-40) решать после изучения темы 1.6 «Центр тяжести». В этих задачах требуется находить центр тяжести плоских фигур, составленных из простых геометрических фигур. Положение центра тяжести плоской фигуры определяется по формулам:

где х_с и y_с – искомые координаты центра тяжести фигуры; x_i и y_i – координаты центров тяжести составных частей фигуры, которые опре­деляются из заданных размеров; А_i – площади составных частей.

Последовательность решения таких задач рассмотрена в примере.

Пример 3. Вычислить координаты центра тяжести сечения плоской фигуры (рис. 6, а).

Рис. 6

Решение. Заданную плоскую фигуру разбиваем на составные части, центры тяжести которых легко определяются (рис. 6, б)– прямоугольник I, треугольник II и прямоугольники III и IV.

Располагаем координатные оси, как показано на рис. 6, а.

Находим площади каждой части и координаты х_с и у_с их центров тяжести С_i. Все эти данные заносим в табл. 2.

Вычисляем координаты х_с и у_с центра тяжести плоской фигуры:

 

Таблица 2

Составная часть	Площадь составной части Ai, мм2	Координаты центров тяжести каждой части
xi, мм	yi, мм
I	300·160 = 48000 = 48·103
II	1/2·120·180=10800= = 10,8·103
III	120·120=14400=14,4·103
IV	80·60= 4800= 4,8·103

 

При решении задач можно использовать метод отрицательных площадей, как это показано на рис. 6, в. Здесь данная фигура разделе­на на три части: прямоугольники I и III и треугольник II, причем площадь треугольника II, вырезанная из плоской фигуры, берется со знаком минус, т. е. считается отрицательной. Легко проверить, что если при таком разделении фигуры все исходные данные свести в табл. 3 и выполнить вычисления, то получится тот же результат.

 

Таблица 3

Сос­тав­ная часть	Площадь составной части Ai, мм2	Координаты центра тяжести каждой части
xi, мм	yi, мм
I	300·280=84000=84·103
II	=10,8·103
III	60·80=4800=4,8·103

 

Определяем

Центр тяжести тела в обоих случаях совпадает, что указывает на правильность решения задачи.

Четвертую задачу контрольной работы (№ 31-40) следует решать после изучения тем 1.7 «Основные понятия кинематики» и 1.8 «Кине­матика точки». В задачах рассматривается равнопеременное движение точки. Следует учесть, что при использовании уравнения равно­переменного движения точки s = v₀t + (a,t²/2)по криволинейной траек­тории кроме касательного ускорения у точки возникает нормальное ускорение а_п = v²/p, направленное по радиусу кривизны траектории к ее центру.

Для решения задач используются соответствующие готовые урав­нения и формулы, выведенные в учебниках (см. приложение, табл. П. 1).

Решение задач целесообразно иллюстрировать рисунками.

Пример 4. По дуге радиусом r = 1200 м (рис. 7) движется поезд, его скорость в. начале движения по дуге составляет v_o = 60 км/ч.

Рис. 7

 

После того как поезд прошел расстояние 800 м, его скорость умень­шилась до 36 км/ч. Определить полное ускорение в начале и конце движения.

Из первого уравнения

Решение. Определим касательное ускорение из уравнений:

Из второго уравнения

Так как движение равномерно за­медленное, то касательное ускорение в течение всего времени движется пос­тоянно.

Найдем нормальное ускорение:

в начале движения а_n = / r = 16,7²/1200= 0,23 м/с²;

в конце движения а_n = v²/r = 10²/ 1200 = 0,08 м/с²;

полное ускорение:

в начале движения м/с²;

в конце движения м/с².

Пример 5. Точка движется прямолинейно по закону s=t⁴+2t (s – в метрах, t – в секундах). Найти ее среднее ускорение в проме­жутке между моментами t_i = 2 с и t₂ = 4 с, а также истинное ускорение в момент t₃ = 3 с.

Решение. Сначала определим скорость точки

Подставив вместо t его значения t₁ = 2 с и t₂ = 4 с, находим

Следовательно, приращение скорости за данный промежуток времени

 

 

Среднее ускорение точки

Для определения ускорения точки в любой момент времени возьмем производную от скорости по времени

и подставим в это уравнение вместо t его значение t₃ = 3 с:

Пятую задачу контрольной работы (№ 41-50) следует решать после изучения тем 1.9 «Простейшие движения твердого тела», 1.12 «Основные понятия и аксиомы динамики», 1.13 «Метод кинетостатики для материальной точки». Шестую задачу контрольной работы (№ 51-60) следует решать после изучения тем 1.14 «Работа и мощность», 1.15 «Теоремы динамики». Рассматривая вращательное движение твер­дого тела, необходимо отчетливо уяснить, что вращение тела харак­теризуется угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ώ и угловое ускорение ε), а отдельные точки вращающегося тела совер­шают криволинейное движение (по окружностям) и их движение характеризуется линейными величинами (путь s, скорость v и ускорение a_τ, a_n).

При решении задач динамики необходимо пользоваться принципом Даламбера, с помощью которого задачи динамики решаются с исполь­зованием уравнения равновесия статики. Согласно принципу Даламбе­ра, в каждый данный момент действующие на материальную точку силы уравновешиваются силами инерции.

При решении задач рекомендуется такая последовательность: 1) выделить точку, движение которой рассматривается в данной задаче; 2) выяснить, какие активные силы действуют на точку и изобразить их на рисунке; 3) освободить точку от связей, заменив их реакциями; 4) к образовавшейся системе сил добавить силу инерции, помня, что направлена она по линии вектора ускорения точки, но в противоположную сторону; 5) выбрать расположение осей координат и составить два уравнения проекций всех сил на эти оси (ΣX_i = 0; ΣY_i = 0); 6) решив уравнения, определить искомые значения величин.

Пример 6. Маховик диаметром 0,8 м начинает вращаться из сос­тояния покоя. Через 10 с после начала движения скорость точек обода маховика достигает 8 м/с. Определить ускорение этих точек. Чему равно число оборотов маховика за первые 10 с равнопеременного вращения?

Решение. По значению скорости точки находим угловую скорость вращения маховика через 10 с после начала вращения:

Угол поворота маховика за 10 с

 

 

Число оборотов маховика за 10 с

Угловое ускорение маховика

Нормальное ускорение точек обода маховика в момент t = 10

Касательное ускорение точек обода маховика

а_τ = εr = 2·0,4 = 0,8 м/с².

Пример 7. Груз массой 200 кг (рис. 8) опуска­ется равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок, и в первые 5 с прохо­дит 10 м. Определить силу натяжения троса.

Рис. 8

 

Решение. Обозначив груз точкой А, при­ложим к нему силу тяжести G, реакцию троса Т и добавим к ним силу инерции F_и направив ее в сторону, противоположную ускорению.

Ускорение а определяем из уравнения рав­нопеременного движения s = at²/2, так как начальная скорость v₀ = 0:

Согласно принципу Даламбера, силы G, Т и F_и находятся в рав­новесии, т.е. Т +F_и – G = 0, откуда Т= G – F_и. Выражая силу инер­ции и силу тяжести через массу груза (F_и = ma, G = mg), получаем T = mg – ma = m(g – a) = 200(9,81 – 0,8) = 1802 H.

Пример 8. Для остановки поезда, движущегося по прямолинейному участку пути со скоростью v = 10 м/с, производится торможение. Через сколько секунд остановится поезд, если при торможении разви­вается постоянная сила сопротивления, равная 0,02 силы тяжести поезда? Какой путь пройдет поезд до остановки?

Решение. Поезд совершает поступательное движение. Рассмат­ривая его как материальную точку М (рис. 9), движущуюся в направ­лении оси Ох, укажем действующие силы: G – сила тяжести поезда, R – нормальная реакция рельсов, F – сила сопротивления, направлен­ная противоположно вектору скорости. Силы G и R уравновешиваются согласно аксиоме действия и противодействия.

Рис. 9

 

По теореме об изменении количества движения материальной точки в проекции на ось Ох

Так как F = 0,02G = 0,02mg, t_o = 0, v_o = 10 м/с, v = 0, получим – mv_o = – 0,02mg Δ t.

Откуда

Для определения пройден­ного пути поездом до его ос­тановки воспользуемся теоремой об изменении кинетической энер­гии:

Работа силы торможения отрицательна ( а = = 180° и cosa = – 1), поэтому

и путь, пройденный поездом:

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: