 |
Описание точек, отрезков и многоугольников
|
|
|
|
В OpenGL все геометрические примитивы описываются путем задания вершин. Для точек это координаты самих точек, для отрезков – координаты концов, для многоугольников – координаты угловых точек.
Понятия "точка", "отрезок", "многоугольник" в OpenGL несколько отличаются от принятых в математике. Различия связаны с тем, что в математике рассматривается абстрактное пространство и идеальные объекты, а на практике приходится учитывать ограничения, вызванные особенностями компьютеров.
Во-первых, это конечная точность вычислений. В любой реализации OpenGL вычисления с плавающей точкой имеют конечную точность, что приводит к ошибкам округления. Поэтому координаты вершин вычисляются не абсолютно точно.
Во-вторых, на растровых дисплеях минимальный элемент изображения – пиксел – имеет конечный размер. Хотя пикселы довольно маленькие (порядка 0,25 мм), в математическом смысле их нельзя считать точками (не имеющими размера) или принять за толщину прямой (бесконечно тонкая). В вычислениях внутри OpenGL все точки описываются векторами с вещественными компонентами. Однако при отображении обычно (но не всегда) точка рисуется в виде одного пиксела, так что несколько различных точек с немного разными координатами будут нарисованы в виде одного пиксела.
Точки
Точка описывается набором вещественных чисел, который называется вершиной. Все вычисления с вершинами производятся в трехмерном пространстве. Если вершины были заданы двумерными координатами (только x и y), то по умолчанию им присваивается координата z =0.
Отрезки
Отрезок задается двумя вершинами, расположенными на его концах. Несколько отрезков можно объединять в ломаные линии. Они могут быть замкнутыми или незамкнутыми (рис. 3.1).
|
|
|
Рис. 3.1. Замкнутая и незамкнутая ломаные линии.
Многоугольники
Многоугольник – это область, ограниченная замкнутой ломаной линией. Ломаная задается угловыми вершинами. Обычно многоугольники рисуются с заливкой внутренней области, но возможно рисование только контура или вершин.
Хотя в общем случае многоугольники могут иметь сложную форму, в OpenGL существуют жесткие ограничения на форму примитивных многоугольников. Во-первых, стороны примитивного многоугольника не должны пересекаться (т.е. это простой многоугольник). Во-вторых, многоугольники должны быть выпуклыми (без выемок и зубцов). Говоря точнее, многоугольник является выпуклым, если отрезок, соединяющий две любых его точки, целиком лежит внутри многоугольника.
На рис. 3.2 приведены несколько допустимых и недопустимых примитивных многоугольников OpenGL. Количество сторон выпуклого многоугольника не ограничено. Многоугольники с отверстиями недопустимы. Они невыпуклые, т.к. их границу нельзя нарисовать в виде одной ломаной. При попытке рисования невыпуклого залитого многоугольника OpenGL может нарисовать объект, совсем не похожий на тот, что вам был нужен.
Рис. 3.2. Примеры примитивных многоугольников
(слева – допустимые, справа – недопустимые).
Невыпуклые многоугольники, с отверстиями или с самопересечениями бывают нужны довольно часто. Их всегда можно представить в виде объединения простых выпуклых многоугольников. Некоторые функции для описания более сложных объектов есть в библиотеках GLU и GLAUX. Эти функции выполняют разбиение сложных многоугольников на множества примитивных многоугольников OpenGL. Ограничения на форму многоугольников в OpenGL связаны с тем, что это упрощает разработку аппаратных графических ускорителей.
Вершины в OpenGL всегда трехмерные, поэтому углы многоугольников не обязательно лежат в одной плоскости (правда, во многих случаях это так, если у всех вершин z =0 или для треугольников). Если вершины многоугольника не лежат в одной плоскости, то после поворотов в пространстве, изменения точки наблюдения и после проецирования вершины могут выглядеть как углы невыпуклого многоугольника. Представьте, например, четырехугольник, углы которого немного отклонены от одной плоскости, и что вы смотрите на него практически "с ребра". Вы увидите многоугольник, напоминающий бабочку (рис. 3.3), корректность отображения которого не гарантирована. Эта ситуация не слишком надуманна, она вполне может возникнуть при аппроксимации поверхности четырехугольниками, вершины которых принадлежат этой поверхности. В случае использования треугольников описанная проблема не возникает.
|
|
|
Рис. 3.3. Неплоский многоугольник проецируется в невыпуклый.
Прямоугольники
В графических программах прямоугольники отображаются очень часто, поэтому в OpenGL есть специальная функция glRect*() для рисования примитива – залитого прямоугольника. Конечно, прямоугольник можно нарисовать и как многоугольник, задавая все его вершины, но специальная функция обычно работает быстрее. Она имеет следующий прототип:
void glRect{sifd}(TYPE x1, TYPE y1, TYPE x2, TYPE y2);
void glRect{sifd}v(TYPE*v1, TYPE*v2);
Прямоугольник задается диагонально расположенными вершинами (x1, y1) и (x2, y2). Прямоугольник лежит в плоскости z =0, его стороны параллельны осям x и y. Изменить пространственную ориентацию прямоугольника можно посредством модельных преобразований.
Кривые
С помощью отрезков (многоугольников) можно с любой требуемой точностью аппроксимировать любую гладкую кривую (поверхность). Точки для соединения отрезками (многоугольниками) выбираются путем деления кривой (поверхности) на небольшие сегменты. При достаточной степени разбиения кривая или поверхность будет выглядеть гладкой (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Аппроксимация кривой отрезками.
Задание вершин
Все геометрические фигуры в OpenGL описываются как упорядоченное множество вершин. Для задания каждой вершины надо вызывать функцию:
void glVertex{23}{sifd}[v](TYPEcoords);
В двумерном случае принимается z =0.
Функции glVertex*() надо обязательно вызывать между вызовами glBegin() и glEnd(), обозначающими начало и конец рисования примитива. Ниже приведено несколько примеров:
|
|
|
glVertex2s(2, 3); // Вершина с координатами (2, 3, 0)
glVertex3d(0.0, 0.0, 3.1415926535898);
GLdouble dvect[3] = {5.0, 9.0, 1992.0};
glVertex3dv(dvect);
|
|
|
