Постановка второй основной задачи динамики

Оглавление

 

Аннотация

Содержание задания

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1. Постановка второй основной задачи динамики

1.2. Определение закона движения системы

1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей

2. Построение алгоритма вычислений

3. Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода

3.1. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа

3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода

Анализ результатов

Список использованной литературы

Аннотация

 

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F₀ * sin(pt).

Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты т_np,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей

Содержание задания

 

Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).

Исходные данные:

M1, М2,М3 - массы тел механической системы.

с - жесткость упругого элемента.

г₂ - радиус блока 2.

R₃, Гз -радиусы ступеней катка 3.

i₂ - радиус инерции блока 3.

µ - коэффициент сопротивления.

Fo — амплитуда возмущающей силы

m₁₌ 3mm₂₌ mm₃₌ m m₄₌ 2m

r₂=r R₂=3rr₃=rr₄=2r

i₂=2r Xo=6 см      Xo= 0 см/c

m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F ₀ = 50 Н F(t)= F ₀ sin(pt) c= 4000 Н/м μ=100Н*с/м

R= - μV

 

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Постановка второй основной задачи динамики

Рис. 1 Расчётная схема

 

На рис. 1 обозначено:

P₁,P₂,P₃ - силы тяжести, N₁, N₂ - нормальная реакция опорной плоскости,

F_упр - упругая реакция пружины,

F_сц - сила сцепления с опорой,

Y₂,X_2, - реакции подшипника блока 2,

R = - µ*V сила вязкого сопротивления,

F(t)- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

 

dT

dt= ∑N^e_k + ∑Nⁱ_k               (1-1)

 

где Т- кинетическая энергия системы,

∑N^e_k - сумма мощностей внешних сил,

∑Nⁱ_k -сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:

 

T= T1+T2+T3.(1.2)

 

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

 

T₁₌ 1/2 m₁*υ²₁(1.3)

 

где V_l - скорость груза 1.

Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

T₂=1/2*m2* υ²2+1/2*Jc₂ ω ²₂(1.4)

 

где

Jn₂ = m₂*i²₂: - момент инерции относительно центральной оси блока;

ω₂- угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение,

 

T₃=1/2*Jc₃ ω ²₃ где j_c3=1/2 m₃*r²₃ (1.5)

 

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение

 

T =1/2*m₄ *v_c4² +1/2*J_c4 * ω ₄² где J_c4 = ½*m₄ *r₄ ²

 

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

 

T=1/2m₁υ₁²+ 1/2m₂ *v_c2² +1/2*Jc₂ ω ²₂ + 1/2*Jc₃ ω ²₃ + 1/2*m₄ *v_c4² + 1/2*J_c4 *ω ₄²       (1.6)

 

Выразим υ_n3.,ω_2,ω₃ через скорость груза 1

 

 v_c2 = υ₁=υ=S; => ω ₃= (R_{2 +} r₂)*v/R ₃*V₃ v_c4 =ω ₄* r ₄ = (R_{2 +} r₂)*v/2R₂  (1.7)

ω ₂ =v/r ₂

 

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V² за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc₂ т _пр /R₂ ² + Jc₃ * (R₂ - r ₂ ) ² / R₂ * r ₂ + m₄ (R₂ + r ₂ ) ² /4r²₂ + J_c4(R₂ - r ₂ ) ² /4r²₂ R₂ ² )* υ₂

 

T=1/2m _трv₃ ²(1-8)

т _пр =m +m₂ +m₃ 1/ R₂ ² + 1/2m₃ (R₂ - r ₂ ) ² / R₂ + m₄ (R₂ + r ₂ ) ² /4r²₂ + m₄ (R₂ + r ₂ ) ² /4r²₂  

т _пр=8, 21кг(1-9)

 

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

 

dT/dt= т _пр – S*S(1.10)

 

вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:

 

N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)

 

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

 

∑N’=0(1.12)

 

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N₄,,Y₃,X₃,P₃,F_вд. Сумма мощностей внешних сил:

 

N=F*V+pV-RV+p₂V₂-F_упр*V₄

 

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1-13) N= F(t)*V₁ +p₁ V₁ -RV₁ + p₂V₁ -F_упр V₁ * R₂ +r₂ /2R_2,

N =(F(t) +p₁ – R +p₂ - F_упр R₂ +r₂ /2R₂)V₁ , или

N= F_пр * V

 

Где F_np приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ƒ_ст и динамического S₄ удлинений

 

F_упр=с(ƒ_ст + S₄ ) (1-15)

 

Сила вязкого сопротивления R =μ V = μ S тогда

 

F_пр = F(t)+p₁ – μ*S+ p ₂ – c(ƒ_ст + R₂ +r₂ /2R_{2 *} S) R₂ +r₂ /2R_2, (1-16)

 

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.

Пологая в (1-16), что S=’S=0 и F(t)= 0 получаем условие равновесия

 

F_пр = p + p₂ = c *ƒ_ст= R₂ +r₂ /2R₂ =0, (1-17)

 

Отсюда статистическое удлинение пружины равно:

 

- c *ƒ_ст R₂ +r₂ /2R₂ = -p₁- p;

ƒ_ст R₂ +r₂ /2R₂ =(p ₁ + p ₂ )/c => ƒ_ст =(p ₁ + p ₂ )/c* 2R₂ / R₂ +r₂

ƒ_ст =1/c (p ₁ + p2) * 2R ₂/R₂ +r₂ ;           (1-18)

 

Подставляем выражение (1-18) в_, (1-16) получаем окончательное выражение для приведенной силы.

 

ƒ_пр = F(t) + p₁ +p₂ - μS – c* R₂ +r₂ /2R ₂ *1/c (p ₁ + p2)* *2R ₂/R₂ +r₂- c*(R₂ + r₂ ) ²/4R²₂ *S

ƒ_пр = F(t) - μS- c*(R₂ + r₂ ) ²/4R²₂ *S; (1-19) 

 

Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы;

 

m_пр =S=- c*(R₂ + r₂ ) ²/4R²₂ *S- μS+ F₀ sin(pt) (1-20)

S = 2nS +k² S +F₀ / m_пр sin(pt); (1-21) 

 

Где k циклическая частота свободных колебаний;

 

n = μ/2* m_пр =100/2*8.21= 6.1с ^-1 ;

 

n – показатель степени затухания колебаний;

 

k= R₂ +r₂ /2R₂ c/m_пр =

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: