Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

1.0 Условие задачи и исходные данные

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис.1.1). В цепи действует постоянная ЭДС Е.

Требуется определить закон изменения во времени тока после коммутации в одной из ветвей схемы или напряжения на каком-либо элементе.

Задачу следует решать двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до , где - меньший по модулю корень характеристического уравнения.

R₁

R₃

R₂

R₄

i₂

i₁

Рис.1.1

Дано: E = 120 В; L = 1 мГн; C = 10 мкФ; R₁ = 3 Ом; R₂ = 0 Ом; R₃ = 1 Ом;

R₄= 1 Ом.

Определить: ток i₁ (t) после коммутации.

1.1 Расчёт переходных процессов классическим методом

Расставляем в расчётной схеме токи и напряжения (рис.1.2).

R₁

R₃

R₂

R₄

i₂

i₁

u_C

u_L

Рис.1.2

Рассчитываем цепь до замыкания ключа и определяем ток через индуктивность i₂( 0_) и напряжение на ёмкости u_C (0_). Так как E= const, то

u_L (0_) = и i₁( 0_) = .

Для любого узла схемы по первому закону Кирхгофа имеем:

i( 0_) – i₁ (0_) – i₂ (0_) = 0.

Следовательно, i( 0_) = i₂ (0_).

По второму закону Кирхгофа для первого контура имеем:

i (0_) ∙ (R₁ + R₂) + i₁ (0_) ∙ R₃ + u_C (0_) = E,

i (0_) ∙ (R₁ + R₂) + u_C (0_) = E. [1]

По второму закону Кирхгофа для второго контура имеем:

i₂ (0_) ∙ R₄ + u_L (0_) – i₁ (0_) ∙ R₃ – u_C (0_) = 0,

u_C (0_) = i₂ (0_) ∙ R₄. [2]

[2] подставляем в [1]:

i₂ (0_) ∙ (R₁ + R₂) + i₂ (0_) ∙ R₄ = E.

Отсюда

На основании законов коммутации определяем независимые начальные значения:

i₂ (0₊) = i₂ (0_) = 30 А, [*]

u_C (0₊) = u_C (0_) = 30 В. [**]

После коммутации (ключ замыкается) сопротивление R₄ закорачивается (рис.1.3). Определяем токи и напряжения для нового энергетического состояния цепи в установившемся режиме.

Напряжение на индуктивности u_L_пр = 0 и ток через ёмкость i_1пр = 0. Тогда

Все найденные значения принуждённых токов и напряжений заносим в таблицу 1.1.

Характеристическое уравнение получим, используя метод аналогии его с входным сопротивлением цепи на переменном токе. Для этого разрываем любую ветвь и относительно разрыва записываем входное сопротивление. Разорвём ветвь с ёмкостью, тогда входное сопротивление будет записано для цепи (рис.1.4) (источник закорачиваем, так как его внутреннее сопротивление равно нулю).

R₁

R₃

R₂

i₂

i₁

u_C

u_L

R₁

R₂

R₃

Рис.1.3 Рис.1.4

Из выражения [3] получаем, заменив и приравняв , уравнение:

Для упрощения преобразований в [4] подставим значения только сопротивлений:

После преобразований получаем характеристическое уравнение:

В выражение [5] подставим L = 1 мГн = 10^-3Гн и C = 10 мкФ = 10 ∙ 10^-6Ф и получим квадратное уравнение:

4 ∙ 10^-3∙ 10 ∙ 10^-6∙ p² + 3 ∙ 10 ∙ 10^-6∙ p + 10^-3∙ p + 3 = 0,

40 ∙ 10^-9 ∙ p² + (30 ∙ 10^-6 + 10^-3) ∙ p + 3 = 0,

0,00000004 ∙ p² + 0,00103 ∙ p + 3 = 0.

Корни которого равны:

p₁ = -3355,28 с^-1 и p₂ = -22394,72 с^-1.

Ввиду того, что корни характеристического уравнения действительные, отрицательные, неравные, то свободная составляющая тока (напряжения) будет иметь вид:

а полный ток (напряжение):

Так как [6] содержит две постоянные интегрирования, для их нахождения необходимо второе уравнение, которое получают из [6] путём диффернцирования по переменной t:

Постоянные интегрирования A1 и A2 находятся из начальных значений, для этого в уравнения [6] и [7] необходимо подставить момент времени t = 0. После подстановки получим систему:

[8]

Следовательно, для определения постоянных интегрирования из [8] требуется найти значения токов (напряжений):

Для их нахождения составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы (рис.1.3):

[9]

Система уравнений содержит 5 неизвестных (i, i₁, i₂, u_L, u_C), поэтому дополним эту систему ещё двумя равенствами:

Систему [9] запишем для момента времени t = 0 и подставим независимые начальные значения [*], [**] и значения сопротивлений.

Получим

Разделив переменные в полученных уравнениях, будем иметь следующую систему:

[12]

Из решения системы уравнений [12] получаем

Таким образом, мы определили значения токов и напряжений в момент коммутации. Данные расчёта вносим в таблицу 1.1.

Из [10] при t = 0 можно определить производную тока

Продифференцируем по переменной t равенство [11], получим:

Для определения остальных производных продифференцируем систему [9] и запишем её при t = 0.

[13]

С учётом найденных производных получаем систему:

[14]

Находим:

Полученные результаты заносим в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

	i	i₁	i₂	u_C	u_L
Принуждённая составляющая	40 А		40 А
Значение в момент t = 0₊	30 А		30 А	30 В	30 В
Значение производной в момент времени t = 0₊	7500	-22500	30000		-22500

Ввиду того, что принуждённый (установившийся) режим постоянный, то и значения принуждённых токов и напряжений при t = 0 будут теми же, что и в таблице 1.1. По этой же причине (принуждённые токи и напряжения не зависят от времени) производные принуждённых значений равны нулю.

Определяем из системы [8] постоянные интегрирования A₁ и A₂ для тока i₁(t), подставляя данные из таблицы 1.1 в систему [8].

Откуда A₁ = -1,182 А, А₂ = 1,182 А.

Записываем закон изменения тока i₁(t):

i₁(t) = -1,182e^-3355,28^t + 1,182e^-22394,72^t А.

1.2 Построение графика переходного процесса

Построим график переходного процесса для тока

i₁(t) = -1,182e^-3355,28^t + 1,182e^-22394,72^t А. [15]

Длительность переходного процесса характеризуется постоянной времени и определяется, как обратная величина корня характеристического уравнения по модулю, т.е. Так как свободная составляющая тока i₁(t) равна сумме двух экспонент:

то каждая из составляющих тока будет иметь свою постоянную времени, причём , следовательно и поэтому длительность переходного процесса будет определяться постоянной времени . Переходный процесс считается практически установившемся через интервал времени когда значение тока или напряжения достигают 95% от своего установившегося значения. Поэтому для построения графика полного переходного процесса достаточно взять интервал времени больше , например - .

Для построения графика тока (рис.1.5) i₁(t) [15] используем программу MathCad. График построим с шагом .

Рис. 1.5

1.3 Расчёт переходных процессов операторным методом

Рассмотрим расчёт переходного процесса методом контурных токов и определим закон изменения тока i₁(t).

Для расчета операторным методом необходимо знать независимые начальные значения, которые в данном примере были уже определены при рассмотрении классического метода расчета переходного процесса и равны соответственно:

i₂ (0₊) = i₂ (0_) = 30 А; u_C (0₊) = u_C (0_) = 30 В.

Для послекоммутационного режима и ненулевых начальных значений составляем операторную схему (рис 1.6).

R₁

R₃

R₂

Li₂(0₊)

I(p)

I₁(p)

I₂(p)

Рис. 1.6

Рассчитаем переходный процесс операторным методом, используя программу MathCad. Для расчёта применим метод контурных токов. В общем виде составляем систему уравнений относительно двух неизвестных контурных токов:

I₁₁(p) ∙R₁₁ + I₂₂(p) ∙R₁₂ = E₁₁;

I₁₁(p) ∙R₂₁ + I₂₂(p)∙R₂₂ = E₂₂;

где:

Решим полученную систему уравнений в программе MathCad:

Найдём изображение тока i₁(t):

I₁(p) = I₁₁(p) - I₂₂(p);

I₁(p) =

После преобразования получаем изображение тока i₁(t):

Перейдём от изображения тока I₁(p) к оригиналу тока i₁(t), используя формулу разложения:

Приравняем M(p) к нулю и определим корни полученного уравнения в программе MathCad, затем их подставим в производную знаменателя M(p) и числитель N(p) и найдём :

Таким образом, запишем оригинал тока i₁(t) из выражения:

После подстановки найденных выше значений получаем оригинал тока i₁(t):

i₁(t) = -1,181e^-3355^t + 1,181e^-22394^tА.

Вывод: Рассчитав переходные процессы в линейной электрической цепи классическим и операторным методами, я нашёл закон изменения тока i₁(t). Результаты в обоих методах совпали, значит, вычисления произведены верно.