Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях
1.0 Условие задачи и исходные данные
Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис.1.1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени тока после коммутации в одной из ветвей схемы или напряжения на каком-либо элементе. Задачу следует решать двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до
Рис.1.1 Дано: E = 120 В; L = 1 мГн; C = 10 мкФ; R1 = 3 Ом; R2 = 0 Ом; R3 = 1 Ом; R4 = 1 Ом. Определить: ток i1 (t) после коммутации.
1.1 Расчёт переходных процессов классическим методом Расставляем в расчётной схеме токи и напряжения (рис.1.2).
![]()
![]()
Рис.1.2 Рассчитываем цепь до замыкания ключа и определяем ток через индуктивность i2 ( 0_) и напряжение на ёмкости uC (0_). Так как E= const, то uL (0_) = Для любого узла схемы по первому закону Кирхгофа имеем: i( 0_) – i1 (0_) – i2 (0_) = 0. Следовательно, i( 0_) = i2 (0_). По второму закону Кирхгофа для первого контура имеем: i (0_) ∙ (R1 + R2) + i1 (0_) ∙ R3 + uC (0_) = E, i (0_) ∙ (R1 + R2) + uC (0_) = E. [1] По второму закону Кирхгофа для второго контура имеем: i2 (0_) ∙ R4 + uL (0_) – i1 (0_) ∙ R3 – uC (0_) = 0, uC (0_) = i2 (0_) ∙ R4. [2] [2] подставляем в [1]: i2 (0_) ∙ (R1 + R2) + i2 (0_) ∙ R4 = E.
Отсюда На основании законов коммутации определяем независимые начальные значения: i2 (0+) = i2 (0_) = 30 А, [*] uC (0+) = uC (0_) = 30 В. [**] После коммутации (ключ замыкается) сопротивление R4 закорачивается (рис.1.3). Определяем токи и напряжения для нового энергетического состояния цепи в установившемся режиме. Напряжение на индуктивности uLпр = 0 и ток через ёмкость i1пр = 0. Тогда Все найденные значения принуждённых токов и напряжений заносим в таблицу 1.1. Характеристическое уравнение получим, используя метод аналогии его с входным сопротивлением цепи на переменном токе. Для этого разрываем любую ветвь и относительно разрыва записываем входное сопротивление. Разорвём ветвь с ёмкостью, тогда входное сопротивление будет записано для цепи (рис.1.4) (источник закорачиваем, так как его внутреннее сопротивление равно нулю).
![]()
![]()
Рис.1.3 Рис.1.4 Из выражения [3] получаем, заменив Для упрощения преобразований в [4] подставим значения только сопротивлений: После преобразований получаем характеристическое уравнение: В выражение [5] подставим L = 1 мГн = 10-3 Гн и C = 10 мкФ = 10 ∙ 10-6 Ф и получим квадратное уравнение: 4 ∙ 10-3 ∙ 10 ∙ 10-6 ∙ p2 + 3 ∙ 10 ∙ 10-6 ∙ p + 10-3 ∙ p + 3 = 0, 40 ∙ 10-9 ∙ p2 + (30 ∙ 10-6 + 10-3) ∙ p + 3 = 0, 0,00000004 ∙ p2 + 0,00103 ∙ p + 3 = 0. Корни которого равны: p1 = -3355,28 с-1 и p2 = -22394,72 с-1. Ввиду того, что корни характеристического уравнения действительные, отрицательные, неравные, то свободная составляющая тока (напряжения) будет иметь вид:
а полный ток (напряжение):
Так как [6] содержит две постоянные интегрирования, для их нахождения необходимо второе уравнение, которое получают из [6] путём диффернцирования по переменной t:
Постоянные интегрирования A1 и A2 находятся из начальных значений, для этого в уравнения [6] и [7] необходимо подставить момент времени t = 0. После подстановки получим систему:
Следовательно, для определения постоянных интегрирования из [8] требуется найти значения токов (напряжений): Для их нахождения составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы (рис.1.3):
Система уравнений содержит 5 неизвестных (i, i1, i2, uL, uC), поэтому дополним эту систему ещё двумя равенствами: Систему [9] запишем для момента времени t = 0 и подставим независимые начальные значения [*], [**] и значения сопротивлений. Получим Разделив переменные в полученных уравнениях, будем иметь следующую систему:
Из решения системы уравнений [12] получаем Таким образом, мы определили значения токов и напряжений в момент коммутации. Данные расчёта вносим в таблицу 1.1. Из [10] при t = 0 можно определить производную тока Продифференцируем по переменной t равенство [11], получим: Для определения остальных производных продифференцируем систему [9] и запишем её при t = 0.
С учётом найденных производных
Находим: Полученные результаты заносим в таблицу 1.1.
Таблица 1.1
Ввиду того, что принуждённый (установившийся) режим постоянный, то и значения принуждённых токов и напряжений при t = 0 будут теми же, что и в таблице 1.1. По этой же причине (принуждённые токи и напряжения не зависят от времени) производные принуждённых значений равны нулю. Определяем из системы [8] постоянные интегрирования A1 и A2 для тока i1(t), подставляя данные из таблицы 1.1 в систему [8]. Откуда A1 = -1,182 А, А2 = 1,182 А. Записываем закон изменения тока i1(t): i1(t) = -1,182e-3355,28t + 1,182e-22394,72t А. 1.2 Построение графика переходного процесса Построим график переходного процесса для тока i1(t) = -1,182e-3355,28t + 1,182e-22394,72t А. [15] Длительность переходного процесса характеризуется постоянной времени и определяется, как обратная величина корня характеристического уравнения по модулю, т.е.
то каждая из составляющих тока будет иметь свою постоянную времени, причём Для построения графика тока (рис.1.5) i1(t) [15] используем программу MathCad. График построим с шагом Рис. 1.5 1.3 Расчёт переходных процессов операторным методом Рассмотрим расчёт переходного процесса методом контурных токов и определим закон изменения тока i1(t). Для расчета операторным методом необходимо знать независимые начальные значения, которые в данном примере были уже определены при рассмотрении классического метода расчета переходного процесса и равны соответственно: i2 (0+) = i2 (0_) = 30 А; uC (0+) = uC (0_) = 30 В. Для послекоммутационного режима и ненулевых начальных значений составляем операторную схему (рис 1.6).
![]() ![]() Рис. 1.6 Рассчитаем переходный процесс операторным методом, используя программу MathCad. Для расчёта применим метод контурных токов. В общем виде составляем систему уравнений относительно двух неизвестных контурных токов: I11(p) ∙R11 + I22(p) ∙R12 = E11; I11(p) ∙R21 + I22(p)∙R22 = E22; где:
Решим полученную систему уравнений в программе MathCad: Найдём изображение тока i1(t): I1(p) = I11(p) - I22(p); I1(p) =
После преобразования получаем изображение тока i1(t): Перейдём от изображения тока I1(p) к оригиналу тока i1(t), используя формулу разложения: Приравняем M(p) к нулю и определим корни полученного уравнения в программе MathCad, затем их подставим в производную знаменателя M(p) и числитель N(p) и найдём
Таким образом, запишем оригинал тока i1(t) из выражения: После подстановки найденных выше значений получаем оригинал тока i1(t): i1(t) = -1,181e-3355t + 1,181e-22394t А. Вывод: Рассчитав переходные процессы в линейной электрической цепи классическим и операторным методами, я нашёл закон изменения тока i1(t). Результаты в обоих методах совпали, значит, вычисления произведены верно.
Читайте также: A) регулирование всего комплекса социальных процессов и отношений, форм общения между людьми Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|