 |
Сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
|
|
|
|
FAQ: Численные Методы, часть VI
Разностные схемы
Явная разностная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость, точность.
См. [8, стр. 272]
Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в области G ={0< x <1,0< t £ T }:
, (22.1)
со следующими начальным и граничными условиями:
u (x,0) = u 0(x), (22.2)
u (0, t) = m1(t), u(1, t) = m2(t). (22.3)
Определим равномерную сетку w h tс шагом h по пространственной перменной и шагом t по временной переменной. Для сеточной функции y (x, t) введем обозначение yin = y (xi, tn), где i = 0... N (hN = 1), n = 0... K (K t= T). Правую часть заменим приближенно сеточной функцией jin.
Явная разностная схема для уравнения (22.1) будет выглядеть следующим образом:
. (22.4)
Уравнение (22.4) решается по слоям, соответствующим моментам времени. Если решение найдено на слое n, то решение на слое n +1 вычисляется по явной формуле.
Утверждение 22.1. Схема (22.4) устойчива только при условии
. (22.5)
Чисто неявная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость, точность.
Чисто неявной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида
. (23.1)
Данная схема также решается послойно; и на каждом (n +1)-ом слое приводит к трехдиагональной системе с количеством неизвестных (N - 1).
Утверждение 23.1. Схема (23.1) абсолютно устойчива.
Утверждение 23.2. Схема (23.1) имеет первый порядок аппроксимации как по t и второй порядок а по h, если только j in = f (xi, tn+1)+ O (t+ h 2).
Симметричная разностная схема. Сходимость, точность.
Шеститочечной симметричной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида
. (24.1)
Данную схему также можно решать методом прогонки.
Утверждение 24.2. Схема (24.1) имеет второй порядок аппроксимации как по t, так и по h, если только j in = f (xi, tn +0.5t)+ O (t2+ h 2).
|
|
|
Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость.
См. [1, стр. 60], [8, cтр. 286].
Для того, чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие три шага:
1. Заменить область непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения (сеткой).
2. Заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором.
3. Сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.
Сетка - это некототорое конечное множество точек (узлов сетки), находящихся в области изменения аргумента. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.
В простейшем случае определяется равномерная сетка, где узлы отстоят друг от друга на фиксированны шаг h (в двухмерном случае возможны различные значения шагов h и t по пространственной и временной координатам). Через w h будем обозначать равномерную сетку с шагом h, через B h - пространство функций, определенных на такой сетке. Через B 0 обозначим пространство функций непрерывного аргумента. Отображение ph вида B 0® B h, служащее для сравнения сеточных функций с обычными, называется оператором проектирования. В пространствах B 0 и B h выбираются какие-либо нормы (обычно, индуцированные скалярным произведением). Эти нормы называются согласованными, если для любой функци u Î B 0 выполняется условие
. (25.1)
Утверждение 25.1. Требование согласованности норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при | h |®0.
Пусть исходная дифференциальная задача имеет вид
Lu(x) = f(x), (x Î G Í R m), (25.2)
а соответствующая ей разностная задача на равномерной сетке имеет вид
Lhyh(x) = j h(x). (x Î w h), (25.3)
где j h(x) = phf(x), а Lh - разностный аналог оператора L.
Пусть u(x) и yh(x) - соответственно решения дифференциальной и разностной задач. Сеточная функция
|
|
|
zh (x) = yh(x) - phu (x) (25.4)
называется погрешностью разностной схемы (25.3).
Очевидно, что погрешность zh(x) удовлетворяет уравнению
Lh (x) zh (x) = y h (x), (25.5)
где y h (x) = j h(x) - Lhuh (x). Сеточная функция y h (x) называется погрешностью аппроксимации разностной задачи на решении исходной дифференциальной задачи. Эту погрешность можно представить в виде
y h (x) = y h,1 (x)+y h,2 (x), (25.6)
где величины
y h,1 (x) = (Lu) h (x) - Lhuh (x) и y h,2 (x) = j h(x) - fh(x) (25.7)
называются соответсвенно погрешностью аппроксимации разностного оператора и погрешностью аппроксимации правой части.
Говорят, что разностная задача (25.3) аппроксимирует исходную задачу (25.2), если ||y h (x)|| h ®0 при | h |®0. Говорят, что схема (25.3) имеет k-й порядок аппроксимации, если существуют положительные постоянные k и M1 (не зависящие от h), такие, что
||y h || h £ M1 | h | k. (25.8)
Разностная схема (25.3) называется устойчивой (безотносительно к аппроксимации уравнения (25.2)), если существует постоянная M2 (не зависящая от h), такая, что
|| yh || h £ M2 ||j h ||. (25.9)
Схема называется условно устойчивой, если она устойчива только при определенном ограничении на соотношении шагов по x и t.
Разностная схема называется корректной, если 1) ее решение yh существует и единственно и 2) она устойчива.
Говорят, что решение разностной задачи (25.3) сходится к решению дифференциальной задачи, если || yh - phu || h ®0 при | h |®0.
Разностная схема имеет k-й порядок точности, если если существуют положительные постоянные k и M3 (не зависящие от h), такие, что
|| yh - phu || h £ M3 | h | k. (25.10)
Теорема 25.2. Пусть дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема является корректной и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
Сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
См. [1, стр. 211], [8, стр. 291].
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: требуется найти непрерывную в G’ = G + Г функцию u (x 1, x 2), удовлетворяющую в области G уравнению
, (26.1)
а на ее границе Г условию
u (x) = m(x). (26.2)
Предположим, что G - прямоугольник вида {0< x 1< l 1, 0< x 2< l 2}, а функции f и m таковы, что решение задачи (26.1,2) существует, единственно и является гладкой функцией.
|
|
|
Введем в G’ прямоугольную сетку w(h 1, h 2) с шагами h 1 и h 2, такими, что l 1= h 1 N 1 и l 2= h 2 N 2. Введем обозначения xi 1 = ih 1, xj 2 = jh 2, yij = y (xi 1, xj 2).
Разностную схему для уравнения (26.1) удобно записать в каноническом виде, разрешенном относительно yij:
. (26.3)
Теорема 26.1. Если решение дифференциальной задачи Дирихле имеет в замкнутой области G’ непрерывные проивзодные до 4-го порядка включительно, то разностная схема (26.3) сходится и имеет второй порядок точности.
|
|
|
