 |
Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций
|
|
|
|
Тема 5. Основы теории деформированного состояния. Объемная деформация. Обобщенный закон Гука
Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций
При деформации тела его точки перемещаются, при этом изменяются расстояния между точками и углы между отрезками, соединяющими эти точки. Обозначим линейные перемещения точки вдоль осей соответственно Оx,Оy,Оz через u, v, w. На рис. 5.1 слева изображен прямоугольный параллелограмм, вырезанный вокруг некоторой точки тела с длинами сторон dx, dy, dz. После деформации длины его сторон изменятся: 
, 
, 
. Поменяются и углы между сторонами соединяющими, например, точки 
и 
(рис. 5.1 справа); здесь 
- угол сдвига.
Рис.5.1. К нахождению составляющих тензора деформации
Деформированное состояние в точке тела характеризуется совокупностью относительных линейных 
и угловых сдвиговых деформаций , 
, 
по всем декартовым направлениям Оx,Оy,Оz, проходящим через данную точку тела.
Покажем, как определяются компоненты относительных линейных и угловых деформаций на примере плоского случая деформирования элемента (рис. 5.2). Пусть плоский элемент ABCD под действием нагрузки перемещается (за счет общей деформации тела) в пределах плоскости и деформируется (изменяет размеры и форму), трансформируясь в элемент 
. Координаты точек элемента до и после его деформирования показаны на рис. 5.2.
По определению относительная линейная деформация в точке A по направлению оси Ox равна
, (5.1)
где элементарные длины отрезков 
а 
определяется по формуле
(5.2)
В случае малых деформаций 
и 
квадратными членами в (5.2) можно пренебречь. Раскладывая оставшуюся часть подкоренного выражения в биноминальный ряд и удерживая первые два члена, будем иметь
|
|
|
. (5.3)
Подставляя (5.3) в (5.1), получаем
. (5.4)
 |
Рис. 5.2. К нахождению составляющих тензора деформации
Из рис. 5.2 видно, что угловая деформация 
равна
. (5.5)
В случае малых деформаций и учитывая, что 
, имеем
, (5.6)
.
С учетом (5.6) выражение (5.5) окончательно принимает форму
. (5.7)
Обобщая аналогичные выкладки на общий случай трехмерной деформации, имеем
(5.8)
.
Соотношения (5.8) носят название соотношений Коши.
Три линейных 
и шесть угловых 
, 
, 
, 
, 
, 
деформаций образуют тензор деформаций
. (5.9)
Тензор (5.12) полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений, так как строится в рамках закона взаимно однозначного соответствия между напряжениями и деформациями, т. е. в рамках закона Гука.
5.2. Закон парности касательных напряжений при объемной деформации
Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда, являются независимыми. В этом легко можно убедиться, составив уравнения моментов для выделенного плоского элемента (рис. 5.3). Составим уравнение моментов относительно оси О z - точки 
(рис. 5.3):
тогда 
(5.10)
Рис. 5.3. К выводу закона парности касательных напряжений
Отсюда следует
. (5.11)
Аналогично для 2-х других уравнений можем найти
; 
. (5.12)
Итак, равенства ; 
; называются законом парности касательных напряжений.
Он гласит: касательные напряжения на двух любых взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и направлены либо оба к линии пересечения, либо от нее.
5.3. Обобщенный закон Гука для изотропных тел
Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений 
и тензора деформаций 
связаны линейными соотношениями.
|
|
|
Одноосное напряженное состояние. Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Одноосное напряженное состояние
Тензор напряжений в этом случае будет иметь вид
. (5.13)
При таком нагружении направление действия напряжения будет характеризоваться линейной деформацией, пропорциональной величине напряжения
, (5.14)
где Е — модуль упругости 
.
Соответствующие деформации по направлениям 2 и 3 обозначим через 
и 
, причем они будут отрицательны при 
>0 и пропорциональны
, 
, (5.15)
где μ - коэффициент Пуассона.
Трехосное напряженное состояние. При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям (рис. 5.5), когда отсутствуют касательные напряжения, тензор напряжений будет
. (5.16)
Рис. 5.16. Трехосное напряженное состояние. Главные площадки
Используя принцип суперпозиции, можно записать
,
, (5.17)
.
С учетом формул типа (5.14), (5.15) зависимости (5.17) примут вид
,
, (5.18)
.
Соотношения (5.18) справедливы для главных направлений (главных площадок). Доказано, что они справедливы для любых трех взаимно перпендикулярных направлений.
.
,
, (5.19)
.
Это и понятно, так как при малых деформациях скос (сдвиг), вызываемый касательными напряжениями, не влияет на изменение длины отрезков. Поэтому зависимости (5.19) выражают так называемый обобщенный закон Гука.
Связь между деформациями сдвига и касательными напряжениями. Угловая деформация (деформация сдвига) обусловлена касательным напряжением. Так, например, деформации , обусловлены касательными напряжениями, соответственно 
, 
.
Соответствующие касательные напряжения и угловые деформации для линейно-упругого изотропного тела связаны зависимостями
, (5.20)
где G — модуль сдвига.
Между E и G для изотропных материалов существует связь
|
|
|
.
Объемная деформация. Пусть параллелепипед со сторонами 
(рис. 5.7 а) после нагружения изменил свои размеры (рис. 5.7 б).
Рис. 5.7. К определению объемной деформации
Объем параллелепипеда до деформации был 
, а после деформирования составил:
.
Последнее выражение представим в виде:
.
Относительное изменение объема при пренебрежении произведениями величин 
, 
и т. д., как величинами второго порядка малости равно:
. (5.21)
С учетом (5.19) выражение (5.21) примет форму:
. (5.22)
Для случая гидростатического сжатия: 
(p ¾ равномерное давление) соотношение (5.22) предстанет в виде
. (5.23)
Величина 
— называется модулем объемной деформации.
При 
(предельное значение) изменения объема не происходит, это так называемые несжимаемые материалы.
Из опытов следует, что для всех известных материалов 
; для конструкционных материалов 
.
5.4. Потенциальная энергия упругой деформации
В общем случае нагружения тела по граням его элемента (параллелепипеда) с размерами ребер 
, 
, 
, вырезанного вокруг произвольной точки тела, будут действовать нормальные 
, 
, 
и касательные напряжения 
, 
, 
. Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела, будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента нормальных 
, 
, 
и касательных сил 
, 
, 
соответственно на удлинениях ребер параллелепипеда 
, 
, 
и перемещениях граней параллелепипеда 
, 
, 
.
Рассмотрим вначале элементарный объем 
в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.8 а). Сила совершает элементарную работу при увеличении напряжения от нулевого уровня до значения на перемещении , пропорционально заштрихованной площади на рис. 5.8 б.
. (5.24)
При отсутствии потерь энергии при нагружении в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования тела
. (5.25)
Рис. 5.8. К определению потенциальной энергии деформации
Удельная потенциальная энергия, накопленная в единице объема элемента, будет
|
|
|
. (5.26)
В частном случае чистого сдвига в плоскости 
, изображенной на рис. 5.9 а, сила 
совершает работу на перемещении 
.
Соответствующая этому случаю нагружения удельная потенциальная энергия деформации равна (рис. 5.9 б)
. (5.27)
В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь
. (5.28)
Выражая деформации в (5.28) через напряжения с помощью обобщенного закона Гука (5.19), окончательно имеем
Рис. 5.9. К определению потенциальной энергии при сдвиге
(5.29)
или в главных напряжениях
. (5.30)
Ранее было показано, что объемное напряженное состояние всегда можно представить как сумму напряженных состояний, одно из которых характеризует объемную деформацию элемента тела, а второе - изменение его формы. Удельную потенциальную энергию также можно представить в виде суммы
, (5.31)
где 
, 
— части удельной потенциальной энергии 
, пошедшие на изменение, соответственно, объема и формы выделенного элемента в окрестности исследуемой точки.
Найдем сначала удельную потенциальную энергию изменения объема элемента . При этом изменение объема элемента будет происходить при всестороннем его растяжении под действием на гранях напряжения 
. Поэтому для определения надо в (5.29) подставить 
вместо , , и положить 
, тогда
(5.32)
или
. (5.33)
Удельную потенциальную энергию формоизменения 
проще найти как разность 
.
(5.34)
Заменяя в (5.34) 
на 
и проводя преобразования, получаем
(5.35)
или
. (5.36)
В случае всестороннего равномерного сжатия 
энергия формоизменения элемента 
, то есть происходит изменение только объема элемента при неизменной его форме.
|
|
|
