Метод динамического программирования

Введение

 

Цель работы - изучение экономической сущности и математической формализации задачи определения оптимального варианта распределения заданной суммы капитальных вложений между несколькими предприятиями отрасли, выпускающими взаимозаменяемую продукцию.

Экономическая сущность задачи

 

В отрасли имеется М предприятий, выпускающих однотипную взаимозаменяемую продукцию, спрос на которую пока не удовлетворяется полностью. С целью увеличения выпуска данной продукции на модернизацию этих предприятий выделена сумма капиталовложений в размере Х тыс. руб. Каждому предприятию с номером m=1, 2, …, M может быть выделена сумма X_m>=0, при этом сумма капиталовложений распределяется полностью, т.е.

 

 (1)

 

Оптимизация распределения капиталовложений производится по критерию максимума суммарного прироста выпуска продукции всеми предприятиями

 

 (2)

 

Здесь g_m (x_m) - прирост выпуска продукции на предприятии с номером m при условии, что ему выделена сумма капиталовложений x_m.

Исходные данные

 

Исходными данными для решения задачи служат выполненные на каждом предприятии расчеты по обоснованию зависимостей прироста выпуска от размера капиталовложений g_m (x_m). Как правило, эти зависимости не удается получить в аналитической форме (в виде непрерывных и аналитических функций) и они представляются таблично, значениями функций при заданных дискретных значениях аргумента.

Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что величины x_m кратны некоторой дискрете h= X/ N где N - число дискрет в распределяемой сумме X. Дискрета h задается заранее, исходя из разумного компромисса между желательной точностью и трудоемкостью расчетов. Уменьшение величины дискреты h, вообще говоря, увеличивает точность, но при этом растет трудоемкость подготовки исходной информации и её последующей обработки.

С учетом принятого допущения величина капиталовложений x_m меняемся дискретно, принимая значения x_m = nh, n=0, 1, …, N. Каждое предприятие рассчитывает и представляет в министерство (N+1) М значений, которые удобно свести в табл.1.

При построении табл.1.1 принято М = 5; Х = 300 тыс. руб.; N = 6; h = 50 тыс. руб.

 

Таблица 1 - Прирост выпуска продукции при заданной величине капиталовложений, тыс. руб.

Величина капиталовложений тыс. руб.	Порядковый номер предприятия
	1	2	3	4	5
1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0
50	30	20	20	40	30
100	83	75	61	62	72
1	2	3	4	5	6
150	98	100	112	97	108
200	127	150	140	134	122
250	158	165	152	160	148
300	195	20	180	185	190

 

Метод динамического программирования

 

Идея метода динамического программирования состоит в том, что выделенная сумма Х распределяется не между всеми М предприятиями (иначе получается полный перебор), а между двумя "предприятиями": последним предприятием (имеющем номер М) и группой из (М -1) - го предшествующего предприятия, для которого оптимальное распределение между ними любой частичной суммы уже известно. Это соответствует решению основного функционального уравнения динамического программирования М -го, последнего шага

 

 (3)

 

Здесь f_M (X) - максимальный суммарный прирост продукции, получаемый от М предприятий при оптимальном распределении суммы Х между M -тым и группой из (М -1) - го первых предприятий, при условии, что выделяемая им частичная сумма (Х-Х_М) распределяется оптимально;

f_M-1 (X-Х_М) - максимальный суммарный прирост продукции, получаемый от (М -1) - го первых предприятий при оптимальном распределении между ними частичной суммы (Х-Х_М), оставшейся, от М-го предприятия.

Решить уравнение (3) невозможно, так как функция f_M-1 (X-Х_М) неизвестна. Однако её можно выразить с помощью основного функционального уравнения для (М-1) - го шага через функцию максимального суммарного прироста продукции, получаемого при оптимальном распределении частичных сумм в группе из (М-2) - х первых предприятий

 (4)

 

Снова неизвестна функция f_M-2 (nh-Х_М-1) однако, используя основное f_M-3 (nh-Х_М-2) функциональное уравнение, её можно определить аналогично через функцию и т.д. Эта процедура рекуррентных подстановок неизвестных функций максимального суммарного прироста продукции заканчивается точно через М шагов. Действительно, на последнем шаге подстановок (его номер m =1) получаем основное функциональное уравнение динамического программирования в виде

 

 (5)

 

Функция f₀ (nh-Х₁) формально есть максимальный прирост продукции при оптимальном распределении частичной суммы (nh-Х₁) в группе, состоящей из "0" предприятий. Естественно, такой группе, в которой нет ни одного предприятия, никаких средств не выделяется поэтому

 

f₀ (nh-Х₁) =0 (6)

 

Отсюда следует, что на первом шаге основное функциональное уравнение имеет следующее решение:

 

 (7)

 

Это означает, что на первом шаге, когда рассматривается только одно первое предприятие, любая частичная сумма nh выделяется ему целиком, так как ее некому, кроме него, распределять. Таким образом, оптимальное управление на первой шаге

 

X₁^* (nh) = nh (8)

 

Представим найденное решение основного функционального уравнения на первом шаге в виде табл.2.

 

Таблица 2 - Определение оптимальных управлений и максимальных прирос продукции на первом шаге

Частичная распределяемая сумма	Сумма, выделяемая первому предприятию							Оптимальное управление	Максимальный прирост продукции
	0	50	100	150	200	250	300
0	0							0	0
50		30						50	30
100			83					100	83
150		-		98				150	98
200					127			200	127
250						158		250	158
300							195	300	195

 

В табл.2 заполнена числами только главная диагональ. Эти числа берутся из табл.1 исходных данных для первого предприятия. Пустые клетки левее главной диагонали показывают, что на 1-м шаге вся частичная сумма nh целиком отдается первому предприятию, так как на атом шаге других предприятий нет. Пустые клетки справа от главной диагонали показывают, что не может распределяться частичная сумма, большая имеющейся.

ШАГ 1 тривиален, однако важен в том отношении, что позволяет начать процесс рекуррентного вычисления на последующих шагах по основному функциональному уравнению

f_m (nh) =max{g_m (x_m) +f_m-1 (nh-x_m) }, n=1, 2, …, N;

0<=xm<=nh, m=1, 2, …, M.

 

ШАГ 2. Распределение частичных сумм между вторым предприятием и группой из "одного первого предприятия". Для второго шага основное функциональное уравнение имеет вид

 

F₂ (nh) =max{g₂ (x₂) +f₁ (nh-x₂) },

0<=x₂<=nh; 1<=n<=N

 

Его решение представлено в табл.3

 

Таблица 3 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 2-м шаге.

Частичная распределяемая сумма	Сумма, выделяемая второму предприятию							Оптимальное управление	Максимальный прирост продукции
	0	50	100	150	200	250	300
0	0+0 0							0	0
50	0+30 30	20+0 20						0	30
100	0+83 83	20+30 50	75+0 75					0	83
150	0+98 98	20+83 103	75+30 105	100+0 100				100	105
200	0+127 127	20+98 118	75+83 158	100+30 130	150+0 150			100	158
250	0+158 158	20+127 147	75+98 173	100+83 183	150+30 180	165+0 165		150	183
300	0+195 195	20+158 178	75+127 204	100+98 198	150+83 233	165+30 195	200+0 200	200	233

В клетках таблицы записываются через знак "+" 2 числа, равные g₂ (x₂) и f₁ (nh- x₂). Величины g₂ (x₂) берутся из табл.1, а величины f₁ (nh- x₂) из последнего столбца табл.2.

В последнем столбце табл.3 проставлены максимумы сумм в соответствующих строках, предшествующем столбце - соответствующая этому максимуму оптимальная величина капитальных вложений, выделяемых второму предприятию.

ШАГ 3. Зная оптимальное распределение всех частичных сумм между первыми двумя предприятиями, перейдем к их распределению между третьим предприятием и группой из первых двух (табл.4).

 

Таблица 4 - Определение оптимальных управлений и максимальных прирост продукции на 3-м шаге

Частичная распределяемая сумма	Сумма, выделяемая третьему предприятию							Оптимальное управление	Максимальный прирост продукции
	0	50	100	150	200	250	300
0	0+0 0							0	0
50	0+30 30	20+0 20						0	30
100	0+83 83	20+30 50	61+0 61					0	83
150	0+105 105	20+83 103	61+30 91	112+0 112				150	112
200	0+158 158	20+105 125	61+83 144	112+30 142	140+0 140			0	158
250	0+183 183	20+158 178	61+105 166	112+83 195	140+30 170	152+0 0		150	195
300	0+233 233	20+183 203	61+158 219	112+105 217	140+83 233	152+30 182	180+0 180	0	233

ШАГ 4. Определение оптимального распределения на 4-м шаге.

 

Таблица 5 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 4-м шаге

Частичная распределяемая сумма	Сумма, выделяемая четвертому предприятию							Оптимальное управление	Максимальный прирост продукции
	0	50	100	150	200	250	300
0	0+0 0							0	0
50	0+30 30	40+0 40						50	40
100	0+83 83	40+40 80	62+0 62					0	83
150	0+112 112	40+83 123	62+40 102	97+0 97				50	123
200	0+158 158	40+112 152	62+83 145	97+40 137	134+0 134			0	163
250	0+195 195	40+158 198	62+112 174	97+83 180	134+40 174	160+0 160		50	198
300	0+233 233	40+195 235	62+158 220	97+112 220	134+83 217	160+40 200	185+0 185	50	235

 

ШАГ 5. Определение оптимального распределения на 5-м шаге.

 

Таблица 6 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 5-м шаге

Частичная распределяемая сумма	Сумма, выделяемая пятому предприятию							Оптимальное управление	Максимальный прирост продукции
	0	50	100	150	200	250	300
0	0+0 0							0	0
50	0+40 40	30+0 30						0	40
100	0+83 83	30+40 70	72+0 72					0	83
150	0+123 123	30+83 113	72+40 112	108+0 108				0	123
200	0+158 158	30+123 153	72+83 155	108+40 148	122+0 122			0	158
250	0+198 198	30+158 188	72+123 195	108+83 191	122+40 162	148+0 148		0	198
300	0+235 235	30+198 228	72+158 230	108+123 231	122+83 205	148+40 188	190+0 190	0	235

 

Результаты расчетов на всех 5-и шагах представим в виде табл.7.

 

Таблица 7 - Сводная таблица оптимальных управлений и максимальных приростов продукции

Распределяемая сумма	Номер шага распределения
	1		2			3		4			5
	x1*	f1	x2*	F2		x3*	f3	x4*	f4		x5*		f5
0	0	0	0	0	0		0	0	0	0		0
50	50	30	0	30	0		30	50	40	0		40
100	100	83	0	83	0		83	0	83	0		83
150	150	98	100	105	150		112	50	123	0		123
200	200	127	100	158	0		158	0	158	0		158
250	250	158	150	183	150		195	50	198	0		198
300	300	195	200	233	0		233	50	235	0		235

 

Таблица 8 - Оптимальное распределение частичных сумм между 5-ю предприятиями.

Распределяемая сумма	Выделяемые предприятиям суммы						Макс. Суммарный прирост продукции
	1	2	3		4	5
0	0	0		0	0	0
50	0	0		0	50	0	40
100	100	0		0	0	0	83
150	100	50		0	0	0	123
200	100	100		0	0	0	158
250	100	100		0	50	0	198
300	100	0		150	50	0	235

 

Оптимальное распределение суммы 300 тыс. руб.:

X1*

100

x2*

0

x3*

150

x4*

50

x5*

0

 

Максимальный прирост выпуска продукции при оптимальном распределении равен 235 тыс. руб. Эта величина находится на пересечении строки "Распределяемая сумма - 300"' и столбцов 5-го шага. Задача решена.

4. Метод полного перебора вариантов

 

Самый простой способ решения распределительных задач подобного типа состоит в полном переборе всех возможных вариантов распределения исходной суммы между предприятиями и выбор того варианта, при котором суммарный прирост выпуска продукции будет максимальным. Недостатком метода полного перебора является то, что число вариантов распределения быстро растет при увеличении количества предприятий и уменьшении дискреты распределения.

По условиям варианта имеем 6 предприятий и 7 дискрет.

 

Таблица 9 - Расчет числа вариантов распределения между 6-ю предприятиями суммы 300 тыс. руб. с дискретой 37,5 тыс. руб. по методу полного перебора

№	Тип распределения	Число вариантов
1	Одному - 300	С61=6
2	Одному - 262,5, другому - 37,5	С61 С51=30
3	Одному - 225, другому - 75	С61 С51=30
4	Одному - 225, другому - 37,5, третьему - 37,5	С61 С52=60
5	Одному - 187,5, другому - 112,5	С61 С51 =30
6	Одному - 187,5, второму - 75, третьему - 37,5	С61 С52С52=120
7	Одному - 187,5, трем по - 37,5	С61 С52=60
8	Двум по - 150	С62=60
9	Одному - 150, второму - 112,5, третему - 37,5	С61 С51С41=60
10	Одному - 150, второму - 75, двум по - 37,5	С61 С51 С42=180
11	Одному - 150, двум по - 75	С61 С52=60
12	Одному - 150, четырем по - 37,5	С61 С54=30
13	Двум по - 112,5 другому - 75	С62 С41=68
14	Двум по - 112,5 двум по - 37,5	С62 С42=90
15	Одному - 112,5, второму - 75, трем по - 37,5	С61 С51 С43=120
16	Одному - 112,5, двум по - 75, третьему - 37,5	С61 С52 С32=180
17	Одному - 112,5, пятерым по - 37,5	С61 С55=6
18	Четырем по - 75	С64=15
19	Трем по - 75, двум по - 37,5	С63 С32=60
20	Двум по - 75, четырем по - 37,5	С62 С44=15
Итого вариантов: 1287

 

Число вариантов распределения методом полного перебора можно также подсчитать по формуле коэффициентов биномиального распределения

 

 (9)

 

Сколько вариантов распределения пришлось рассмотреть при использовании метода динамического программирования?

 

 (10)

 

В нашем случае это составило 1287 вариантов, т.е. по сравнению с методом полного перебора число рассматриваемых вариантов сократилась более чем в 60 раза.

Интуитивные распределения

 

Равномерное распределение

 

При равномерном распределении суммы в 300 тыс. руб. между 5-ю предприятиями получается, что каждому из них нужно выделить по 60 тыс. руб.

Используя данные о приросте выпуска продукции на предприятиях при выделении им 50 и 100 тыс. соответственно, рассчитаем прирост выпуска продукции при выделении им по 60 тыс. рублей.

Из рис.1 можно найти прирост продукции при выделении предприятию 60-ти тыс. руб.

Величина прироста при распределении суммы капитальных вложений по 60тыс. руб. определяется путем решения ряда пропорций.

Для первого предприятия 50/10=53/yà y=10,6 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 40,6.

Для второго предприятия 50/10=55/yà y=11 50/10=22/yà y=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 44,4

Для третьего предприятия 50/10=41/yà y=8,2 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 28,2.

Для четвертого предприятия 50/10=22/yà y=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 44,4.

Для пятого предприятия 50/10=42/yà y=8,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 38,4.

Рисунок 1 - Равномерное распределение капиталовложений

Итак максимальный прирост при равномерном распределении равен.

38,4+44,4+28,2+40,6+31=182,6тыс. руб.

 

5.2 Метод наибольшей плановой эффективности

 

При этом методе вся сумма 300тыс. руб. отдается предприятию с наибольшей плановой эффективностью, то есть тому, которое при капиталовложениях 300тыс. руб. дает максимальный прирост продукции. По данным таблицы 1 видно, что это предприятие № 2. Если ему выделить 300тыс. руб., то максимальный прирост продукции будет 200 тыс. руб.

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: