 |
повышенный уровень, время – 2 мин)
|
|
|
|
Тема: Кодирование чисел. Системы счисления.
Что нужно знать:
· принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления
· 
чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием 
в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:
4 3 2 1 0 ← разряды
1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0
· последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на
· две последние цифры – это остаток от деления на 
, и т.д.
· число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей: 
· число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: 
· число 2 N– 2 K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: 
· поскольку 
, получаем 
, откуда следует, что 
Пример задания:
Решите уравнение 
.
Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:
1) переведём все числа в десятичную систему счисления:
2) собирая всё в одно уравнение получаем
3) это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6
4) переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙31 = 203.
5) ответ: 20.
Ещё пример задания:
Сколько единиц в двоичной записи числа
42014 + 22015 – 87
Решение:
1) приведём все числа к степеням двойки:
42014 + 22015 – 8 = (22)2014 + 22015 - 23 = 24028 + 22015 – 23
2) вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
а число 2 N– 2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
3) согласно п. 2, число 22015 – 23 запишется как 2012 единиц и 3 нуля
4) прибавление 24028 даст ещё одну единицу, всего получается 2012 + 1 = 2013 единиц
5) ответ: 2013.
Ещё пример задания:
Сколько единиц в двоичной записи числа
42016 + 22018 – 8600 + 6
|
|
|
Решение:
6) приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как 22+21
42016 + 22018 – 8600 + 6 = (22)2016 + 22018 - (23)600 + 22 + 21 = 24032 + 22018 – 21800 + 22 + 21
7) вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
а число 2 N– 2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
8) согласно п. 2, число 22018 – 21800 запишется как 218 единиц и 1800 нулей
9) прибавление 24032 даст ещё одну единицу, а прибавление 22 + 21 – ещё две, всего получается 218 + 3 = 221 единица
10) ответ: 221.
Ещё пример задания:
Сколько единиц в двоичной записи числа
42016 – 22018 + 8800 – 80
Решение:
1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
3) вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
а число 2 N– 2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
4) согласно п. 2, число 22400 – 22018 запишется как 382 единицы и 2018 нулей
5) добавляем старшее слагаемое 24032, получаем число 24032 + 22400 – 22018, в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:
6) выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 22018):
,
где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно 
7) согласно п. 2, число 22018 – 26 запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:
где число L содержит 2011 единиц
8) теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 26 – 24, согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы
9) таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395
10) ответ: 2395.
Решение (способ 2, Е.А. Смирнов, Нижегородская область):
1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
|
|
|
2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
3) представим – 22018 = – 22019 + 22018 и – 26 = – 27 + 26
24032 + 22400 – 22019 + 22018 – 27 + 26– 24
4) слагаемое 24032 в двоичной записи содержит 1 единицу
5) слагаемое 22400 – 22019 содержит 381 единицу (число 2 N– 2 K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: )
6) слагаемое 22018 – 27 содержит 2011 единиц, слагаемое 26– 24 содержит 2 единицы
7) позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395
ответ: 2395
Решение (способ 3, А.И. Козлов, г. Северобайкальск):
1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
3) выражение 22400–24 дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (26) и, соответственно на 2019 месте справа (22018). Следовательно, остается 2394 единички.
4) С учетом того, что 24032 дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц
5) Ответ: 2395
Ещё пример задания:
Решите уравнение 
.
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:
1) удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему
2) получаем 
3) уравнение приобретает вид 
, откуда получаем 
4) переводим 15 в шестеричную систему счисления: 
5) ответ: 23.
Ещё пример задания:
Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?
Решение:
6) если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело
7) поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15
8) очевидно, что это число 15.
Ещё пример задания:
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.
Решение:
9) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом 
имеем
|
|
|
10) следовательно, основание N – это делитель числа 66
11) с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть 
12) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:
13) видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие 
14) таким образом, верный ответ – 3.
15) можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113
Еще пример задания:
Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.
Решение:
1) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем
2) следовательно, основание N – это делитель числа 
3) с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть 
4) неравенство 
дает 
(так как 
)
5) неравенство 
дает 
(так как 
)
6) таким образом, 
; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа
· 9, при 
получаем запись числа 
· 14, при 
получаем запись числа 
· 18, при 
получаем запись числа 
7) наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)
8) таким образом, верный ответ – 18.
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?
Общий подход:
· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.
· в данном случае 
, остаток от деления числа на 
должен быть равен 114 = 5
· потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16
Решение (вариант 1, через десятичную систему):
|
|
|
1) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)
2) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при 
) и 21 (при 
)
3) таким образом, верный ответ – 5, 21.
Возможные ловушки и проблемы:
· выражение «не превосходящие  » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие
· остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему
· найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется
|
Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):
1) переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения
2) из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
это 114 = 5 и 1114 = 21
3) таким образом, верный ответ – 5, 21.
| Возможные ловушки и проблемы: · есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25) · можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести |
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
Общий подход:
· здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через
· поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть 
· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на
Решение:
1) итак, нужно найти все целые числа 
, такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)
(*)
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа
3) из формулы (*) получаем 
, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2
4) в этой задаче есть только три таких делителя: 
и 
5) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21.
Возможные ловушки и проблемы:
· нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель  не подходит (должно быть )
· числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию
|
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Общий подход:
· неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через
|
|
|
· пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:
2 1 0 ← разряды
31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1
· можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как 
при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:
4 3 2 1 0 ← разряды
31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0
= k·N2 + N + 1
для 
(из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )
Решение:
1) итак, нужно найти все целые числа 
, такие что
(**)
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа
3) из формулы (**) получаем 
, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, 
– целое число
4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)
6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.
Еще пример задания:
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.
Решение (вариант 1):
1) запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:
10 = 205, 17 = 325 .
2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли
3) между 205 и 325 есть еще числа
215, 225, 235, 245, 305, 315.
4) в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз
5) таким образом, верный ответ – 7.
| Возможные ловушки и проблемы: · нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305 · помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек · можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза |
Решение (вариант 2):
1) переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:
10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 .
2) считаем цифры 2 – получается 7 штук
3) таким образом, верный ответ – 7.
Еще пример задания:
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.
Решение:
1) обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид
2) вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:
3) поскольку запись трехзначная, 
, поэтому 
4) с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому 
5) объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству
6) учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:
7) минимальное из этих значений – 4
8) таким образом, верный ответ – 4.
Решение (без подбора):
1) выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения
2) найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как
3) проверяем второе неравенство: 
, поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна
4) таким образом, верный ответ – 4.
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?
Решение (вариант 1):
1) нас интересуют числа от 1 до 30
2) сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5
3) поскольку 
, в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр
4) рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:
все они заведомо не меньше 
, поэтому в наш диапазон не попадают;
5) таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа
6) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
7) общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:
где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)
8) используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19
9) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.
Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре):
1) нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел
2) поскольку 
, в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)
3) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
4) выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19
5) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.
Решение (1 способ):
1) Если число в системе с основанием 
оканчивается на 13, то
а) 
, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3
б) это число можно представить в виде 
, где 
– целое неотрицательное число
2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения 
следует 
.
3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает 
здесь мы подставили 
– наименьшее допустимое значение
4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до 
), решая для каждого из них уравнение
или равносильное 
относительно , причем нас интересуют только натуральные числа
5) получаем
а) при 
: 
б) при 
: решения – не целые числа
в) при 
: 
и 
, второе решение не подходит
6) таким образом, верный ответ: 4, 68.
Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):
1) запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем
2) таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
3) среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число 
; отсюда найдем максимальное основание:
так что первый ответ: 68.
4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков (
, 
…), т.е. все они больше 
5) поэтому 
, следовательно, 
6) по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому 
(в системах с основанием £ 3 цифры 3 нет)
7) итак: 
, и при этом – делитель 68; единственное возможное значение 
(на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)
8) таким образом, верный ответ: 4, 68.
| Возможные ловушки и проблемы: · на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3) · можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x), и пропустить максимальное основание · нужно помнить, что а) максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления б) 100 в системе с основанием p равно p2 |
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.
Решение (1 способ):
1) Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то
а) 
, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2
б) это число можно представить в виде 
, где – целое неотрицательное число
2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения 
следует 
.
3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает 
здесь мы подставили 
– наименьшее допустимое значение
4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до 
), решая для каждого из них уравнение
или равносильное 
относительно , причем нас интересуют только натуральные числа
5) получаем
а) при : 
б) при 
: решения – не целые числа
в) при 
: 
и 
, второе решение не подходит
г) при 
: решения – не целые числа
6) таким образом, верный ответ: 6, 42.
Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):
1) запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем
2) таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
3) среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число 
; отсюда найдем максимальное основание:
так что первый ответ: 42.
4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков (
, 
…), т.е. все они больше
5) поэтому 
, следовательно, 
6) по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому 
7) итак: 
, и при этом – делитель 84; возможные значения 
(на 5,8 и 9 число 84 не делится)
8) переводя число 86 в системы счисления с основаниями 
, находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):
| Дальше делить нет смысла | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9… | 5… | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 1 | 5 |
9) таким образом, верный ответ: 6, 42.
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.
Решение:
1) Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).
2) Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство 
; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.
3) Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании () оно равно 
, поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.
4) На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть 
, где 
– целое неотрицательное число, такое что 
.
5) Максимальное можно определить как решение уравнения 
(при 
); получаем одно из решений – 6,15; поэтому 
6) Если мы знаем , то определится как 
; пробуем подставлять в эту формулу 
, пытаясь получить
7) Минимальное будет при : 
, а при 
получается 
8) Та
|
|
|
