 |
Критерии выбора вида средней в экономических расчетах.
|
|
|
|
В экономических расчётах наиболее часто используют средние арифметические и средние гармонические. Выбор того или иного вида средней зависит от исходных данных и исходного отношения – логической (словесной) формулы средней. Исходное отношение составляются на основе теоретического и экономического анализа. Примеры составления исходных отношений таковы:
,
.
Далее используется критерии.
1. Если в исходном отношении известен числитель, т.е. его можно определить с помощью одного лишь суммирования, а знаменатель неизвестен, но его можно определить последовательно, на основе других известных величин, то следует применять среднюю гармоническую.
2. Если в исходном отношении известен знаменатель, т.е. его можно определить с помощью одного лишь суммирования, а числитель непосредственно неизвестен, но его можно последовательно определить, то следует использовать среднюю арифметическую.
3. Если в исходном отношении известен и числитель, и знаменатель, т.е. их можно определить последовательно путём простого суммирования, то используют среднюю в неявной форме – как отношение одного объёмного показателя к другому объёмному показателю.
Другие виды средних величин.
Средняя квадратическая:
простая 
,
взвешенная 
.
Наиболее широко этот вид средней используется при расчёте показателей вариации. Аналогично можно получить среднюю кубическую, возведя значения признака в 3-ю степень и взяв корень 3-й степени.
Средняя геометрическая:
простая 
,
взвешенная 
.
Основное применение средняя геометрическая находит при определении среднего темпа роста.
Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему виду степенных средних. Степенная средняя степени k есть корень k -й степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в k -й степени на число индивидуальных значений:
|
|
|
простая 
,
взвешенная 
При 
получаем среднюю арифметическую, при 
– квадратическую, при 
– кубическую, при 
– геометрическую, при 
– гармоническую. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны этой константе. Т.о., имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:
.
Структурные средние.
При изучении вариации применяются и такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественную его структуру. Таковы медиана и мода.
Медиана – это значение признака, делящее пополам ранжированный (упорядоченный) вариационный ряд. Одна половина значений больше медианы, а другая – меньше.
Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Определим медиану по несгруппированным данным. Предположим, что 7 сотрудников отдела имеют следующий стаж работы (лет): 5, 2, 4, 3, 4, 2, 2.
Для определения медианы необходимо провести ранжирование:
2, 2, 2, 3, 4, 4, 5.
Центральным в этом ряду является стаж 3 года, следовательно данный стаж и будет медианой. Если ранжированный ряд включает чётное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.
Для неоднородных совокупностей медиана практически выполняет функции средней. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальный или минимальных значений.
Допустим, необходимо дать общую характеристику прибыли 10 малых предприятий области, из которых 9 имеют прибыль в интервале от 100 до 250 тыс. руб., а прибыль последнего за рассматриваемый период составила 10000 тыс. руб.:
|
|
|
| № предприятия | ||||||||||
| Прибыль, тыс. руб. |
Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим среднюю прибыль, равную примерно 1150 тыс. руб., что не только почти в 9 раз меньше прибыли 10-го предприятия, но и имеет мало общего с финансовыми результатами деятельности остальной части предприятий. Медиана же, равная в данном случае 16 тыс. руб., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности малых предприятий.
Рассмотрим определение медианы по сгруппированным данным. Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:
| Цена, руб. | Число торговых предприятий |
| Итого |
Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:
,
где 
– объём совокупности.
В нашем случае 
.
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при чётном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 60-м и 61-м предприятиями. Необходимо определить к какой группе относятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 торговых предприятия, их нет ни во второй группе (3+18=21), ни в третьей группе (3+18+25=46). 60-е и 61-е предприятия находятся в четвёртой группе (3+18+25+31=77), следовательно медианой является цена 213 руб.
В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется следующая формула:
,
где х0 – нижняя граница медианного интервала (первого интервала, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
h – величина медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
mMe – частота медианного интервала.
Пример. Имеются данные о дневной выработке 200 рабочих предприятий.
| Дневная выработка, деталей | Число рабочих | Накопленная частота |
| 50 – 60 | ||
| 60 – 70 | 25+30 = 55 | |
| 70 – 80 | 55+50 = 105 | |
| 80 – 90 | 105+60=165 | |
| 90 – 100 | 165+35=200 | |
| ИТОГО | - |
Требуется определить медиану дневной выработки рабочих предприятия.
|
|
|
70 – 80 – медианный интервал.
дет.
Мода – это значение изучаемого признака, которое встречается в изучаемой совокупности чаще всего, т.е. это признак с наибольшей частотой.
В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.
| Экзаменационная оценка | ||||
| Число студентов |
mmax = 14 Mo = 4.
Чаще встречаются ряды с одним модальным значением признака. Если два или несколько значений признака с наибольшей частотой имеются в вариационном ряду, он считается соответственно бимодальным, мультимодальным.
В интервальном вариационном ряду для нахождения моды используют следующую формулу:
,
где 
– нижняя граница модального интервала (имеющего наибольшую частоту);
h – величина модального интервала;
mMo – частота модального интервала;
mMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
mMo+-1 – частота интервала, следующего за модальным.
Для нашего примера модальный интервал 80 – 90.
.
|
|
|
