Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тригонометрические уравнения




sinα = a, α = (–1)n · arcsin a + π·n, n Z; cosα = a, α = ± arccos a + 2π, n Z;

tgα = a, α = arctg a + π·n, n Z; ctgα = a, α = arcctg a + π·n, n Z;

Частные случаи

sin x = ±1, x = ± π/2 + 2π, n Z; sin x = 0, x = πn, n Z; cos x = –1, x = π + 2πn, n Z;

cos x = 0, x = π/2 + πn, n Z; cos x = 1, x = 2πn, n Z;

Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента

arcsin(–α) = –arcsinα; arccos(–α) = π – arccosα; arctg(–α) = –arctgα; arcctg(–α) = –arcctgα;

 

 

ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОД КООРДИНАТ

 

Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:

;

Пусть A (x1; y1; z1); B (x2; y2; z2); тогда:

вектор ; модуль вектора

 

ТРЕУГОЛЬНИК

 

 

внешний угол СВД = ; К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). ha, hb, hc – высоты треугольника на соответствующие стороны.

где полупериметр .

М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

ma, mb, mc – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1

Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). La, Lb, Lc – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС

 

r – радиус вписанной окружности. О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности). Радиус описанной окружности:

 


где SΔ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; hc

 

высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

MN – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

 

 

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

 

где R – радиус описанной окружности.

 

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

 

 

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

 

где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.

– формула Герона.

 

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

 

тогда площадь

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

 

 

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

 

а и b – катеты, с – гипотенуза, ас и bc – проекции катетов на гипотенузу.

а2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.

S= a·b/2 = c·hc/2; – радиус вписанной окружности.

R = c/2, – радиус описанной окружности.

sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b2 = c·bc;

a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

 

 

ПРЯМОУГОЛЬНИК

 

 

 

РОМБ

 

 

КВАДРАТ

ТРАПЕЦИЯ

а и b – основания, h – высота

 

 

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR2 = πD2/4.

Длина дуги l = π·R·α/1800. Площадь сектора S = π·R2·α/3600.

где α – величина угла дуги в градусах.

 

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ

Свойство вписанного четырёхугольника:

ac + bd = ef, где a, b, c, d – стороны, e, f – диагонали.

Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;

S = p·r, p – полупериметр.

 

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

 

Внутренний угол где n – число сторон. an = 2R·sin(1800/n);

Sn = ½ ·n·an·r; Sn = ½ ·Pn·r; r = R·cos(1800/n);

 

ШЕСТИУГОЛЬНИК

 

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ПРИЗМА

 

Боковая поверхность наклонной призмы Sб.п. = P1·l, где P1 – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы Sб.п. = Pосн ·l; Объём призмы Vпр=Sосн·h;

 

ПИРАМИДА

 

I. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности описанной около многоугольника основания.

II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.пир.= ½ ·Pосн·ha, где ha – апофема.

Sб.пир.= Sосн /cosα, где α – угол наклона боковой грани к основанию.

Объём пирамиды: Vпир= ⅓·Sосн·h, где h – высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: Sбок= ½ ·(P1+P2)·ha, где P1, P2 периметры оснований (верхнего и нижнего); ha – апофема.

Объём усечённой пирамиды: где Q1 и Q2 – площади оснований.

 

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ЦИЛИНДР

 

Площадь боковой поверхности: Sбок =2·π·R·h; Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h); Объём: V = πR2·h;

 

КОНУС

 

Площадь пов–ти конуса: боковой Sб=πrl; полной Sп=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr2h/3;

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

 

Площадь боковой пов–ти: Sб.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R2 + r2 +Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;

 

ШАР

 

Площадь пов–ти сферы: Sсф=4πR2; Объём шара: Vш=4/3·πR 3;


ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

 

17)

18)

 

19)

20)

 

21)

22)

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...