Обратная матрица. Ранг матрицы.
Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А·А-1=А-1·А=Е. Для существования матрицы А -1необходимым и достаточным условием является требование | А |¹0. Если определитель матрицы отличен от нуля (| А |¹0), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при | А |=0) — вырожденной, или особенной.
Задание 1. Укажите, какие из матриц имеют обратные, а также выделите невырожденные (неособенные) и вырожденные (особенные) матрицы:
Теорема (необходимое и достаточное условие, существования обратной матрицы). Обратная матрица А -1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Обратную матрицу можно найти с помощью элементарных преобразований: по следующему алгоритму: 1. выпишем заданную квадратную матрицу А и припишем ей справа соответственную единичную матрицу Е; 2. с помощью элементарных преобразований получим слева вместо матрицы А единичную Е: ¨ получим значение первого диагонального элемента а 11=1, при этом можно строки менять местами (полностью), умножать на любое, отличное от нуля число, и складывать поэлементно; ¨ получим значения аi 1=0, ¨ далее аналогично, получим значение второго диагонального элемента а 22=1, и добьёмся, чтобы все остальные элементы второго столбца стали равными нулю аi 2=0,
¨ далее аналогично, будем получать значение диагонального элемента равное 1, и всех остальных элементов этого столбца равными нулю 3. тогда при соответствующих элементарных преобразованиях матрица Е превратится в А -1.
Задание 2. Найти обратную матрицу с помощью присоединенной единичной и элементарных преобразований и выполнить проверку правильности её нахождения:
Задание 3. Найти обратную матрицу с помощью присоединённой единичной и элементарных преобразований и выполнить проверку правильности её нахождения:
Обратную матрицу можно найти с помощью определителя и алгебраических дополнений: например, для матрицы второго порядка А ищем А -1 – обратную матрицу (если она существует) по формуле: Задание 4. Найти обратную матрицу с помощью определителя и алгебраических дополнений:
например, для матрицы третьего порядка А ищем А -1 – обратную матрицу (если она существует) по формуле:
Задание 5. Найти обратную матрицу с помощью определителя и алгебраических дополнений:
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rangА, или r (А).
Из определения следует: 1) ранг матрицы Ат,п не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r (A)£ min (m; п);
2) r (A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = О; 3) для квадратной матрицы п-го порядка r (A) =п тогда и только тогда, когда матрица А — невырожденная. 4) Укажите ранг матрицы:
5) Выразите неизвестную матрицу из матричного уравнения:
6) Решить матричное уравнение: ¨ Введём следующие обозначения: Тогда матричное уравнение примет вид: А · Х · В = С – умножим слева обе части матричного уравнения на А -1 – обратную матрицу для А и получим: А -1· А · Х · В = А -1· С – заметим, что А -1· А = Е – единичная матрица и получим: Е · Х · В = А -1· С – заметим, что Е · Х = Х и получим: Х · В = А -1· С – умножим справа обе части матричного уравнения на В -1 – обратную матрицу для В и получим: Х ·В· В -1= А -1· С · В -1 – заметим, что В · В -1= Е – единичная матрица и получим: Х · Е = А -1· С · В -1 – заметим, что Х · Е = Х и получим: Х = А -1· С · В -1 ¨ Ищем обратную матрицу А -1 для А по формуле: Итак, обратная матрица имеет вид: ¨ Ищем обратную матрицу В -1 для В по формуле:
¨ Ищем матрицу Х: Обратная матрица. Ранг матрицы. Тест 1
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|