 |
Введение в математический анализ и функциональный анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
|
|
|
|
Программа экзамена по математике, 1 семестр, группы ТТП 103, 104.
Линейная алгебра. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
1. Определители 1-го, 2-го. 3-го и n-го порядков. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Свойства определителей: перестановка строк или столбцов определителя, определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами, вынос общего множителя за знак определителя, определитель с нулевым рядом, определитель как сумма двух определителей, линейные комбинации строк или столбцов определителя, транспонирование определителя, линейная комбинация строки или столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов.
2. Матрицы. Действия над матрицами: сложение, умножение на число, умножение матриц друг на друга. Единичная матрица. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Решение систем уравнений матричным способом.
3. Однородная, неоднородная системы уравнений, расширенная матрица системы уравнений. Линейная зависимость строк или столбцов матрицы. Правило Крамера.
4. Понятие n-мерного векторного пространства: определение, основные аксиомы. Линейная, тривиальная комбинации векторов. Линейно-зависимая, линейно-независимая комбинации векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.
5. Базисный минор, ранг матрицы, ранг и элементарные преобразования матрицы. Теорема о базисном миноре.
6. Приведенная система, фундаментальная система решений. Нахождение общего решения системы линейных уравнений.
7. Векторы. Линейные операции над векторами, основные свойства. Коллинеарность, компланарность векторов. Базис в пространстве, на плоскости, на прямой. Деление отрезка в заданном отношении.
|
|
|
8. Скалярное произведение векторов. Свойства.
9. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение Геометрический смысл векторного произведения. Свойства векторного произведения.. Выражение векторного произведения через компоненты сомножителей.
10. Смешанное произведение. Геометрический смысл смешанного произведения. Условие компланарности векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через компоненты сомножителей.
11. Уравнения прямой и плоскости: общее, векторное, параметрическое, каноническое. Направляющий, нормальный векторы прямой. Уравнение прямой в пространстве, как пересечение двух плоскостей. Признаки параллельности прямых на плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
12. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки. Признаки параллельности прямой и плоскости. Уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до прямой. Нормированное уравнение прямой. Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
13. Системы координат: декартова, полярная, цилиндрическая, сферическая.
14. Эллипс: фокус, эксцентриситет, директрисы, их свойства. Гипербола: асимптоты, фокус, эксцентриситет, директрисы, их свойства. Парабола: фокус, эксцентриситет, директриса, их свойства. Эллипсоид, однополостный, двуполостный гиперболоиды, эллиптический, гиперболический параболоиды, конус, эллиптический, гиперболический цилиндры.
Введение в математический анализ и функциональный анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
15. Числовые множества. Последовательности. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множества. Предельные точки множества, окрестности точки. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел. Теорема о предельном переходе в неравенствах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Необходимое и достаточное условие существования конечного предела.
|
|
|
16. Понятие функции, способы ее задания. Сложные функции. Элементарные функции. Два определения предела функции в точке. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел. Бесконечно малые функции и их свойства. Произведение бесконечно малых функций. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую предел, отличный от нуля. Предел суммы, произведения и частного функции. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Символы "О" и "о".
17. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность суммы, произведения, частного. Непрерывность сложной и обратной функции. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Свойство монотонной функции. Обратная функция и ее непрерывность.
18. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная элементарной функции. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал функции. Связь с производной. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производная и дифференциал высших порядков. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
|
|
|
19. Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Достаточные признаки максимума и минимума. Исследование на максимум и минимум с помощью производных высших порядков. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривой.
Структура билета по математике:
- теория – Линейная алгебра. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- теория – Введение в математический анализ и функциональный анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- практика – Линейная алгебра.
- практика – Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- практика – Вычисление пределов (не используя правило Лопиталя)
- практика- дифференцирование функции одной переменной
Критерии Экзаменационной оценки:
| Экзаменационная оценка |
| «отлично» - выполнены верно все задания билета «хорошо» - пять заданий билета «удовлетворительно» - четыре задания билета (обязательно теория) |
При подготовке к экзамену студент может подготовить «Шпаргалку» на листе формата А4 (можно заполнить с двух сторон), которой он может воспользоваться во время экзамена 1 раз. «Шпаргалка» может содержать ответы как на теоретические так и на практические вопросы. Подписанная студентом «Шпаргалка» сдается преподавателю перед началом экзамена, и, при необходимости, студент может подойти к столу преподавателя и прочитать необходимый материал со своей «шпаргалки» (не более 5 минут). По окончании экзамена «шпаргалка» не возвращается.
Если студент не сдал расчетно-графическую работу по математике за 1-й семестр, то он получает дополнительно к экзаменационному билету задания по расчетно-графической работе (свой вариант).
Экзамен проходит письменно, длительность экзамена 90 минут. Результаты экзамена объявляются в день написания экзамена (в 15.00, кафедра математики, аудитория 1-419).
|
|
|
