Параметры свободных колебаний

Кафедра механики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №1

 

	Теория колебаний

По дисциплине:

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Вариант-3

 

Тема: Собственные колебания консервативной системы с одной степенью свободы вблизи положения равновесия.

 

 

Выполнил: студент гр. РТ-04 ____________ / Бойко Т.В. /

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ: профессор ____________ /Горшков Л. К./

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

 

 

 

Санкт-Петербург

 

Задание:

 

Схема колебательной системы:

 

 

 

1 - груз массой m_1;

2 - бицилиндр m₂, ₂, r₂,R_2;

3 - балка m_3.

Параметры системы

Таблица 1

m1,кг	m2,кг	m3,кг	r2,cм	R2, cм	ρ, cм	C, Н/м	l, см	η0, см	, см/с	d =k/n
								0,24	1,6

 

 

Свободные колебания

 

Кинетическая энергия

 

Общая кинетическая энергия системы:

 

 

 

Кинетическая энергия возвратно- поступательного движения груза:

где - обобщенная скорость, м/с.

Кинетическая энергия вращающегося бицилиндра вокруг неподвижной оси:

 

где I₂ – осевой момент инерции бицилиндра, кг∙м²;

ω₂ –угловая скорость вращения бицилиндра.

 

где ρ – радиус инерции бицилиндра, м.

Окончательный вид формулы нахождения кинетической энергии бицилиндра:

 

Кинетическая энергия стержня, вращающегося относительно оси, проходящей через точку О₁:

 

Момент инерции стержня:

 

Угловая скорость стержня:

 

Учитывая малость колебаний, будем считать скорости в точках В и С одинаковыми:

 

 

Окончательный вид формулы нахождения кинетической энергии стержня:

 

 

Общая кинетическая энергия системы:

где m – обобщенная масса системы.

.

 

Потенциальная энергия

 

Потенциальная энергия системы определяется работой сил тяжести системы и силы упругости пружины на перемещении системы из отклоненного положения, когда груз имеет координату , в положение статического равновесия. При таком отклонении вес блока (бицилиндр) работы не производит, поэтому потенциальная энергия системы равна:

 

 

 

Потенциальная энергия груза:

 

Минус ставится, так как груз из положения статического равновесия отклоняется вниз при положительном .

Потенциальная энергия стержня:

 

 

Исходя из малости колебаний, угол очень мал, и можно заменить синус соответствующим углом.

,

 

Смещение BB₁ совпадает с перемещением точки, лежащей на поверхности блока, т.е. тогда ,

Потенциальная энергия пружины:

,

где С – жесткость пружины, Н/м,

λ – динамическая деформация, м,

λ_ст – статическая деформация, м.

Полная потенциальная энергия системы:

.

В положении, соответствующем , система находится в равновесии. Поэтому должно выполняться условие: .

 

= 0

,

где μ – обобщенная жесткость системы, Н/м.

Подставим численные значения:

 

Уравнение Лагранжа

 

Найдем составляющие этого уравнения для нашей системы:

(уравнение Лагранжа данной колебательной системы).

 

Дифференциальное уравнение колебаний

 

Уравнение Лагранжа с численными коэффициентами:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Закон колебаний

Для решения дифференциального уравнения колебаний, нахождения его интеграла, надо составить характеристическое уравнение:

Решение данного уравнения зависит от знака . В данном случае ,

,

где - круговая частота колебаний, рад/с;

- мнимая единица.

Для корней мнимых и сопряжённых, решение дифференциального уравнения колебаний:

- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Из первого начального условия:

-начальная координата.

Для использования второго начального условия возьмём производную от :

Из второго начального условия:

Таким образом, закон колебаний будет записан:

, см

Представим закон колебаний в виде синусоиды:

,

где а – амплитуда колебаний , м;

- начальная фаза колебаний , рад.

Амплитуда колебаний:

Начальная фаза колебаний:

.

Окончательный вид закона колебаний:

, см

 

Параметры свободных колебаний

Параметрами свободных колебаний являются: период, частота, амплитуда, начальная фаза. Для амплитуды и начальной фазы значения были вычислены (, ).

Период колебаний:

Частота колебаний:

График колебаний

 

 

Затухающие колебания

Коэффициент уменьшения частоты собственных колебаний ;

удельный коэффициент демпфирования ;

круговая частота затухающих колебаний

;

период затухающих колебаний ;

абсолютная частота затухающих колебаний .

Дифференциальное уравнение колебаний с учетом сопротивления:

1,46- удвоенное значение коэффициента демпфирования n.

Решением данного уравнения будет являться выражение:

.

Определим постоянные интегрирования, используя начальные условия:

Представим закон колебаний в виде синусоиды:

Амплитуда колебаний:

Начальная фаза колебаний:

.

Окончательный вид закона колебаний:

, см

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: