Проведение и обработка результатов эксперимента.
Каждая строка матрицы – это условия опыта. Для исключения случайных ошибок рекомендуется проводить опыты в случайной последовательности, для чего проводят так называемую рондомизацию (перемешивание), используя таблицы случайных чисел или «жеребьёвку» опытов. С целью взаимной компенсации случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется проводить n раз (обычно n = 2…3, редко n = 4…5 раз). Опыты при одних и тех же значениях факторов называют параллельными, а постановку параллельных опытов – дублированием. Эксперименты могут проводиться по одному из вариантов: 1) с равномерным дублированием опытов, 2) с неравномерным дублированием опытов, 3) без дублирования опытов. При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковое количество параллельных опытов; в случае неравномерного дублирования – неодинаковое. Равномерное дублирование предпочтительно, т.к. даёт простую матрицу и бóльшую точность. Характер дублирования влияет на содержание математической обработки результатов эксперимента. Методика проведения и обработки результатов экспериментов с равномерным дублированием опытов заключается в следующем. 1) Для каждой строки матрицы планирования по результатам n параллельных опытов находят среднее арифметическое значение параметра оптимизации
где u – номер параллельного опыта, yju – значение параметра оптимизации в u -м параллельном опыте j -й строки матрицы планирования. 2) С целью оценки отклонений параметра оптимизации от его среднего значения для каждой строки матрицы планирования вычисляют дисперсию
3) Перед началом обработки результатов из параллельных опытов исключают резко выделяющиеся результаты, используя критерий Груббса.
где 4) Результаты опытов исследуют на однородность дисперсий по критерию Кохрена, расчетное значение которого определяется по формуле
Оно сравнивается с табличным значением Gm. Если Gp < Gm то дисперсии считаются однородными, если Gp > Gm, то дисперсии неоднородны, т.е. исследуемая величина не подчиняется закону нормального распределения. В этом случае нужно попытаться заменить «y» случайной величиной Для однородных дисперсий опыта вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента
5) По результатам эксперимента вычисляются коэффициенты математической модели (уравнения регрессии) по следующим формулам, полученным методом наименьших квадратов,
где N – число строк в матрице планирования (число вариантов опытов); i, l, h – номера факторов; j – номер строки или опыта в матрице планирования; yj – значение параметра оптимизации в j-м опыте;
xij, xlj, xhj – кодированное значение (+1 или –1) факторов i, l, h в j-м опыте. 6) Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии одним из двух способов: 1) сравнением абсолютной величины коэффициента с его доверительным интервалом, 2) с помощью критерия Стьюдента (αст). По первому способу для принятого доверительного интервала вычисляют дисперсию и ошибку определения коэффициентов уравнения регрессии по формулам
где
Доверительный интервал
где
При проверке значимости коэффициента bi с помощью критерия Стьюдента вначале определяют расчетное его значение по формуле
Затем сравнивают его с табличным значением 7) Проверяют гипотезу адекватности найденного уравнения регрессии и результатов эксперимента. Для этого необходимо и достаточно оценить отклонение выходной величины, предсказанное математической моделью
где Дисперсия адекватности или остаточная дисперсия определяется по формуле
где K* – количество оставленных коэффициентов уравнения регрессии, включая b0;
Находят табличное значение критерия Фишера для принятого уровня значимости и соответствующих величин степеней свободы числителя fад и знаменателя fy, которые определяются по формулам
Если расчетное значение критерия Фишера Fp меньше табличного FT (Fp < FT), то модель адекватна, в противном случае – не адекватна. Математическая обработка результатов экспериментов с неравномерным дублированием проводится по специальным методикам. Методика обработки результатов эксперимента, проведенного без дублирования опытов, заключается в следующем. Для вычисления дисперсии воспроизводимости выполняют несколько параллельных опытов (n0) в центре плана (нулевой точке), т.е. все факторы принимаются на нулевых уровнях. По результатам экспериментов вычисляют дисперсию и ошибку опытов
где n0 – количество параллельных опытов в нулевой точке; yu – значение параметра оптимизации в u-м опыте;
По результатам экспериментов вычисляются коэффициенты математической модели (уравнения регрессии) по приведенным выше формулам, т.е.
Далее проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии путем сравнения абсолютного значения коэффициента с его доверительным интервалом или по критерию Стьюдента
где
При использовании в качестве оценки доверительного интервала, он определяется по формуле
где Коэффициенты уравнения регрессии считаются значимыми, если их абсолютная величина больше доверительного интервала, т.е.
При использовании для оценки коэффициента Стьюдента вычисляют их значение по формуле и сравнивают с табличным значением Гипотеза адекватности результатов эксперимента и аппроксимирующей их математической модели проверяется по критерию Фишера (F), расчетное значение которого определяется по формуле
где K – число переменных (факторов);
yj – значение параметра оптимизации в j-м опыте по математической модели;
Для принятого уровня значимости (достоверности) с учетом степени свободы числителя и знаменателя находится табличное значение критерия Фишера (FT). Если Fp < FT, то модель считается адекватной, при Fp > FT – модель неадекватна. Адекватность модели для интерполяционных экспериментов означает конец решения задачи. Если линейная модель неадекватна, то для интерполяционных экспериментов используют следующие приемы: 1) усложняют линейную модель, вводя эффекты взаимодействия, 2) переходят к планированию 2-го порядка, 3) сокращают интервалы варьирования факторов. Для экстремальных экспериментов переносят центр плана в лучшую точку и проводят новую серию экспериментов при уменьшенных интервалах варьирования. Причина неадекватности модели может быть не только в интервалах варьирования, но и в том, что нулевая точка находится в непосредственной близости от оптимума. Тогда переходят к планированию 2-го порядка. При этом может оказаться, что уже после построения неполной квадратной модели она станет адекватной. Если необходимо перейти к натуральным переменным
где
Пример. Получено уравнение регрессии для расчета шероховатости поверхности Ra при ленточном шлифовании следующего (кодированного) вида:
где x1 – время шлифования (t = 10 с; 60 с), x2 – сила прижима ленты (Р = 20 н; 70 н), х3 - зернистость ленты (K =28/20 мкм; 125/100 мкм), у – шероховатость (Ra), мкм. Необходимо перейти к натуральным параметрам (
Тогда или В ряде случаев для приведения уравнения регрессии к линейному виду целесообразно рассматривать не сами переменные, а некоторые функции этих переменных (логарифмы, обратные величины и др.). Если необходимо получить уравнение регрессии вида
то путем его логарифмирования получим линейное уравнение относительно коэффициентов bi
Для нахождения коэффициентов bi пользуются линейным методом наименьших квадратов. Однако следует иметь в виду, что найденные оценки коэффициентов будут смещенными, т.к. в этом случае минимизируется не сумма квадратов отклонений экспериментальных и расчетных значений «yi», а сумма квадратов отклонений логарифмов этих величин. Пример. Необходимо установить зависимость стойкости резцов с пластинами Т14К8 от режимов резания. В теории резания эту зависимость принято описывать математической моделью типа
где Т – показатель стойкости (мин), СТ – постоянный коэффициент, V – скорость резания (м/мин), S – подача (мм/об), t - глубина резания (мм). После логарифмирования получаем
Запишем это уравнение в следующем виде:
где Для определения коэффициентов bi можно использовать ПФЭ типа 23. Преобразование независимых переменных
Кодирование переменных факторов, матрица планирования и результаты экспериментов представлены в таблицах. Опыт №9 выполнен в центре плана (на нулевом уровне).
Таблица 12
Матрица планирования ПФЭ–23 и результаты эксперимента
Таблица 13
Рассчитываем коэффициенты уравнения регрессии
Тогда Далее выполняется статистический анализ результатов математического моделирования, т.е. проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии, адекватность математической модели и т.п. Вычисляем дисперсию для каждой строчки матрицы планирования по результатам 3-х параллельных (дублирующих) опытов по формуле
Проверяем результаты опытов на наличие грубых ошибок по критерию Груббса и устанавливаем, что резко выделяющиеся результаты отсутствуют. Проверяем результаты опытов на однородность дисперсий по критерию Кохрена
Табличное значение критерия Кохрена GT для доверительной вероятности PD = 0,95, N = 8 и Определяем дисперсию воспроизводимости эксперимента
Дисперсия ошибки определения i -го коэффициента уравнения регрессии (bi) будет
Доверительный интервал
Для PD = 0,95 и числа степеней свободы Проверяем гипотезу адекватности, рассчитав критерий Фишера по формуле
где Найдем значение 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
При степени свободы числителя Для перехода к математической модели в натуральных значениях факторов
Потенцируя полученное уравнение, имеем окончательно
Расчеты стойкости по разработанной матмодели для условий экспериментов, представленных в матрице планирования, показали следующие результаты Т 1 = 270,4 мин; Т 2 = 40 мин; Т 3 = 150,5 мин; Т 4 = 23,3 мин; Т 5 = 157,8 мин; Т 6 = 23,3 мин; Т 7 = 87,8 мин; Т 8 = 13 мин; Т 9 = 36,3 мин Сравнение экспериментальных данных с расчетными показывает, что они отличаются как в сторону увеличения, так и уменьшения стойкости. Максимальная разница между расчетным и экспериментальным значением стойкости имеет место в контрольном опыте №9 (54,3%). Такая большая разница указывает на большую нестабильность пластинок твердого сплава Т14К8, что также видно по выходному параметру, приведенному в матрице планирования экспериментов. Поиск оптимума
Основной целью экстремальных экспериментов является нахождение наилучших (оптимальных) решений по выбранному критерию (параметру оптимизации). Для этого задается некоторый критерий оптимизации в виде целевой функции y, зависящий от управляемых параметров (факторов варьирования)
Задача оптимизации сводится к отыскиванию таких значений параметров Если бы поверхность отклика можно было описать в аналитической форме в виде приведенной функции, то координаты точки экстремума
Решением системы является экстремальная точка (или «стационарная точка»), в которой градиент функции у обращается в нуль
где Однако в большинстве случаев экспериментальных исследований аналитическая функция «у» неизвестна. Исследователь имеет возможность только экспериментально получить значение отклика при некоторой комбинации варьируемых факторов
Таким образом, задача оптимизации может быть решена двумя методами. 1) Каким-либо способом строиться математическая модель и задача решается аналитически или численным способом. 2) Поиск экстремальной («стационарной») точки в факторном пространстве Известны несколько методов экспериментального поиска оптимума, различающихся способом определения направления движения и организацией самого движения. Рассмотрим наиболее широко применяемые экспериментальные методы.
Метод Гаусса-Зайделя
Этот метод базируется на принципе покоординатного восхождения, когда факторы изменяются поочередно и последовательно ищут локальные оптимумы на каждой из координат. Переход к новой (i +1) координате совершаются по достижении частного экстремума целевой функции у на предыдущем направлении, например, в точке Хh, в которой
Найдя частные экстремумы по всем координатам Характерной особенностью процесса является продолжительная стабилизация всех факторов, кроме одного, по которому происходит движение, на определенном уровне, т.е. фактически реализуется однофакторный эксперимент. Направление движения вдоль (i +1)-й координатной оси выбирается по результатам двух пробных экспериментов Рассмотрим процедуру (алгоритм) поиска оптимума методом Гаусса-Зайделя на примере 2-х факторного процесса (рис.19).
![]()
Рис.19. Метод Гаусса-Зайделя для 2-х факторного процесса
1) Определяются координаты начальной точки X 1 движения к оптимуму (на основании априорной информации). 2) Задается шаг варьирования 3) Для установления направления движения в первом цикле (вдоль оси X 1) выполняются пробные эксперименты, пробное движение с центром в начальной точке X 1(h *=1) вариацией параметра X 1 на
Производится измерение откликов 4) Отклики в пробных точках сравниваются и устанавливается характер изменения отклика. 5) Реализуется 1-й цикл рабочего движения с шагом
где 6) После каждого рабочего шага (эксперимента) проводится измерение значения отклика 7) 1-й цикл шагового движения прекращается по достижении в некоторой точке
Критерием останова служит выполнение неравенства
8) Точка
Если в пробном движении по i -й переменной оба шага окажутся неудачными, т.е.
9) Дальнейшая процедура выбора направления и организация II-го, III-го (вновь по оси
…………………….
или
10) После 2-го цикла рабочего движения переходят к третьему (вновь по
Метод градиента
При оптимизации процесса градиентным методом рабочее движение совершается в направлении наиболее быстрого возрастания или убывания выходного параметра, т.е. в направлении максимального (по абсолютной величине) градиента целевой функции
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|