 |
Oсновные правиладифференцирования.
|
|
|
|
Тема.
Дифференцирование. Основные определения и правила.
Определение 1. 1. Пусть функция 
определена в открытом интервале 
и пусть точка 
принадлежит . Производной функции 
в точке назовем величину
(1.1)
если предельное значение (1.1) существует и конечно.
Секущие и касательные прямые к графику функции 
.
Определение 1. 2.
Секущей прямой к графику функции назовём прямую, проходящую через две точки лежащие на графике: 
. Уравнение этой прямой имеет вид: 
. Угловой коэффициент секущей 
равен 
Рис.1.
Рис.1
Если теперь точку 
неограниченно приближать вдоль графика к точке 
, то наклон секущей будет меняться. Допустим, что существует предельное значение 
углового коэффициента (при условии 
), то есть
(1.2)
Определение 1.3. Прямая 
называется касательной прямой к графику функции с точкой касания . Сравнивая формулы (1.1) и (1.2) получаем 
и уравнение касательной прямой запишется в виде
(1.3)
Если 
, то касательная параллельна оси ОХ и её уравнение будет таким 
.
Пример 1. Пусть на графике функции 
заданы две точки 
. Найдем уравнения:
1) Секущей прямой проходящей через точки 
2) Уравнения касательных прямых к графику проведённых
в точках .
Решение. 1) Определяем угловой коэффициент секущей прямой, проходящей через точки 
. Выписываем уравнение секущей 
или 
. Чтобы написать уравнения касательных нужно вычислить значения производных данной функции в точках касания: 
и 
. Подставляя данные в формулу (1.3), выписываем уравнения касательных
; 
С помощью касательных определяют углы между графиками функций в точке их пересечения.
Определение 1. 4. Углом между графиками функций
в точке их пересечения называется угол между их касательными прямыми в этой точке рис. 2. Этот угол находим по формуле
|
|
|
(1.4)
Определение производной удобнее записывать и использовать с помощью приращений.
Рис.2
Определение 1.5. Приращением аргумента называют разность 
и обозначают через 
.
Разность 
= 
называют приращением функции.
Таким образом, определение производной можно переписать так
(1.5)
Замечание. Производные также можно записывать следующими формулами 
Пример 2. Пользуясь определением (1.5), найдём производные функций 
в точке 
.
Решение. Используя определение производной (1.5), вычисляем приращение функции в точке 
. Тогда 
.
Пользуясь определением (1.5), найдём производную функции 
.
По определению имеем 
Физический смысл производной. Пусть координата точки движущейся вдоль прямой меняется со временем по закону 
, тогда средняя скорость за период времени 
определяется как 
;
Мгновенная скорость в момент времени 
есть (по определению) предельное значение средней скорости 
;
Oсновные правиладифференцирования.
Для практического вычисления производных определения (1.1) и (1.5) малопригодны. Обычно поступают так: из определения производной получают правила дифференцирования и при вычислении любой производной пользуются этими правилами.
Правило1. 1. При дифференцировании постоянный сомножитель выносится за знак
производной: 
. Доказательство
Правило 1.2. Производная суммы функций равна сумме производных 
. Доказательство.
Правило 1.3. Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию плюс первая функция, умноженная на производную второй функции: 
Доказательство 
Правило1. 4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя минус произведение числителя на производную знаменателя, весь полученный результат делится на квадрат знаменателя: 
Доказательство 
|
|
|
Вычислим производные базовых элементарных функций и составим из них таблицу.Для этого используем замечательные пределы. Приведем примеры.
1. производная тригонометрической функции 
2. производная тригонометрической функции 
3. производная тригонометрической функции 
4. производная показательной функции 
3. производная логарифмической функции 
Таблица производных базовых элементарных функций
Замечание. Вычисление производных произвольных функций несложно, но требует практических навыков.
Пример 3. Используя правила дифференцирования и таблицу производных найти производные функций
Решение
1) 
; 2) Переписываем функцию в удобном для дифференцирования виде 
. Следовательно 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Пример 4. Вычислим производную функции 
Решение.
Далее все производные берём из таблицы производных и записываем ответ
.
|
|
|
