Описание метода расчета

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У - 1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = (В - У + 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (т. е. содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам / контурам).

Для решения составленной системы уравнений можно воспользоваться матричной формой

, где

A и B — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B x B;

I и E — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

,

— обратная матрица; Δ — определитель матрицы A; Δ _ik — алгебраические дополнения элементов a_ik (см. способы нахождения обратной матрицы).

— матрица собственных g_ii и взаимных g_ik проводимостей (см. метод наложения).

— система уравнений, определяющих токи ветвей.Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта. В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, т.е. К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей I ₁, I ₂, I ₃ (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У − 1 = 2 − 1 = 1) независимое уравнение, например для узла a

,

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например для контуров 1 и 2

;

.

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

или

Теперь составим систему уравнений токов:

где

;

;

;

;

;

;

.