 |
по дисциплине «Математический анализ»
|
|
|
|
ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
Логические символы. Множества: способы задания, основные понятия. Равные множества. Подмножество. Сумма множеств. Пересечение множеств. Разность множеств. Дополнение множества. Объединение множества множеств. Пересечение множества множеств.
Множество вещественных чисел: аксиомы сложения, умножения, сравнения и непрерывности. Расширенное множество действительных чисел. Числовые множества. Свойства бесконечно удаленных точек. Замечание. Ограниченное сверху множество. Ограниченное снизу множество. Ограниченное множество. Верхняя (нижняя) граница множества. Точная верхняя граница. Точная нижняя граница. Теорема о существовании точных верхней и нижней границ числового множества (без доказательства). Максимальный элемент множества. Минимальный элемент множества.
Определение функции. Аргумент и значение функции. Область определения функции. Множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Сужение функции. Равные функции. Суперпозиция двух функций. Неявное задание функции. Ограниченная функция. Неограниченная функция. Ограниченная сверху (снизу) функция. Симметричное множество. Четная функция. Нечетная функция. Замечания о четных и нечетных функциях. Периодическая функция. Возрастающая функция. Убывающая функция. Неубывающая функция. Невозрастающая функция. Взаимнооднозначная (биективная) функция. Обратная функция. Элементарная функция. Классы элементарных функций.
Определение числовой последовательности. Ограниченная сверху (снизу) последовательность. Ограниченная последовательность. Неограниченная последовательность. Бесконечно большая последовательность. Замечание. e-окрестность точки вещественной прямой. e-окрестности бесконечно удаленных точек. Определения предела числовой последовательности (на языке окрестностей и языке 
) (5). Замечания. Определение сходящейся последовательности. Замечания. Теорема о единственности предела последовательности (с доказательством). Теорема об ограниченности сходящейся последовательности (с доказательством). Теорема о переходе к пределу в двойном неравенстве (с доказательством). Свойства последовательностей, связанные с переходом к пределу в неравенствах. Определение возрастающей (убывающей) последовательности. Определение неубывающей (невозрастающей) последовательности. Определение точной верхней (нижней) границы последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности (с доказательством). Замечания о пределах последовательностей, число е. Определение стягивающейся системы вложенных отрезков. Теорема о вложенных отрезках (с доказательством). Определение подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности последовательности, имеющей предел (с доказательством). Теорема Больцано-Вейерштрасса (с доказательством). Определения предельной точки последовательности. Замечания о предельных точках последовательностей. Определение частичного предела последовательности. Замечание о частичном пределе последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности (с доказательством). Определение фундаментальной последовательности. Определение бесконечно малой последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей (№1 и №2 с доказательством). Замечания. Лемма о пределе последовательности (с доказательством). Свойства последовательностей, связанные с арифметическими операциями (№2 с доказательством). Замечания.
|
|
|
Определение точки сгущения числового множества. Определение проколотой окрестности точки. Определение предела функции (по Коши на языке 
, по Коши на языке окрестностей, по Гейне на языке окрестностей). Различные варианты пределов функции на языке . Замечания. Простейшие свойства функций, имеющих предел (№1, №2 с доказательством). Теорема об арифметических операциях с функциями, имеющими конечный предел (с доказательством для произведения). Следствия. Теорема о пределе суперпозиции функций (с доказательством). Теорема о пределе монотонной функции (без доказательства). Критерий Коши существования конечного предела функции (необходимость с доказательством). Замечания. Определение бесконечно малой функции. Определение бесконечно большой функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Определение «о малого». Определение «О большого». Определение эквивалентных функций. Замечания. Теорема (первый замечательный предел) (с доказательством). Второй и другие замечательные пределы. Определение предела слева. Определение предела справа. Теорема об односторонних пределах функции (без доказательства).
|
|
|
Определения непрерывной в точке функции. Определения непрерывной в точке функции по Коши. Определения непрерывной в точке функции по Гейне. Определение непрерывной в точке слева (справа) функции. Определение непрерывной на множестве функции. Замечания. Определение точки разрыва функции. Определение точки устранимого разрыва. Определение точки разрыва 1-го рода. Определение точки разрыва 2-го рода. Определение кусочно-непрерывной функции. Теорема об арифметических операциях с непрерывными функциями (с доказательством). Теорема о непрерывности суперпозиции функций (с доказательством). Замечания. Теорема об ограниченности непрерывной функции (с доказательством). Теорема о сохранении знака непрерывной функции (с доказательством). Следствие. Первая теорема Вейерштрасса (с доказательством).
Определение функции, достигающей своих точной верхней (нижней) границы на множестве. Вторая теорема Вейерштрасса (с доказательством). Замечание о достижении функцией максимального и минимального значений на отрезке. Первая теорема Больцано-Коши (с доказательством). Вторая теорема Больцано-Коши (с доказательством), замечание, следствие. Определение равномерно непрерывной функции. Теорема Кантора (с доказательством). Некоторые свойства монотонных на отрезке функций.
|
|
|
Основная литература
1. Виленкин Н.Я., Бохан К.А. и др. Задачник по курсу математического анализа (ч.1)
2. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (ч.1)
4. Ковальчук В.Е., Чалов П.А. Лекции по математическому анализу (сайт ИММиКН)
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (ч.1)
6. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (ч.1)
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислений (т.1)
Дополнительная литература
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенков К.В. Курс математического анализа (т.1)
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (ч. 1)
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (т.1)
Электронные ресурсы
mathprofi.ru
|
|
|
