 |
Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.
|
|
|
|
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.
Производная функции f(x) есть некоторая функция
f ’(x), произведенная из данной функции.
Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)).
Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции. Производные сложных функций.
Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование -в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.
Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.
Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.
Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.
|
|
|
Правило Лопиталя, при 0 / 0.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: 
.
Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0
Если существует предел
, то 
Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0, тогда
, где с лежит между x0 и х.
При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:
Так как , то 
.
Поэтому 
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)
Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности
Если существует предел
, то
Неопределенности вида 0∙∞; ∞-∞; 1∞; ∞0; 00 сводятся к двум основным.
Например, 0∙∞
Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0
Дифференциалы высших порядков.
Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.
Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Исследование условий и построение графиков.
- найти область определения функции
- найти точки пересечения графика с осями координат
- найти интервалы знака постоянства
- исследовать на четность, нечетность
- найти асимптоты графика функции
|
|
|
- найти интервалы монотонности функции
- найти экстремумы функции
- найти интервалы выпуклости и точки перегиба
|
|
|
