Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Расчет переходных процессов с применением преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа, его свойства и применение в решении обыкновенных дифференциальных уравнений подробно рассмотрены в [4,5]. Идея метода заключается в переносе решения из области функций действительного переменного t в область функций комплексного переменного p = σ + jω, позволяющего вместо интегро-дифференциальных

систем уравнений получать более простую для решения систему алгебраических уравнений. Полученное решение обратным преобразованием возвращают в область функций действительного переменного. Переход к функциям комплексного переменного осуществляют с

помощью прямого преобразования Лапласа

Коммутация происходит при t = 0. Это преобразование, строго говоря, определяет F(p) в области значений p, для которых интеграл сходится, а именно в полуплоскости σ > a, где a – абсцисса сходимости. В другой же полуплоскости функция F(p) является аналитическим продолжением

интеграла (за исключением особых точек – полюсов). Определенную таким образом функцию F(p) называют изображением по Лапласу, а функцию f(t) – оригиналом. Выражение (5.3.1) обычно

записывают сокращенным способом В такой записи прямое преобразование первой производной функции имеет вид

а интеграла –

где F(p) – изображение по Лапласу функции f(t) а f(+0) – значение f(t) при t = +0. Обратное преобразование Лапласа осуществляют с помощью интеграла

где c выбирается так, чтобы правее этой абсциссы отсутствовали полюсы

функции F(p). Сокращенная запись (5.3.4) При вычислении интеграла путь интегрирования заменяется замкнутым контуром Г, составленным из отрезка и части окружности, расположенной слева от прямой, согласно лемме Жордана. Замена дает возможность применить теорему о вычетах, согласно которой оригиналом F(p) служит функция:

где сумма берется по всем особым точкам функции, лежащей внутри Г n

.Для нахождения оригинала по изображению используется теорема разложения. Пусть изображение имеет вид правильной дроби

пусть числитель и знаменатель не имеет общих корней. Тогда положение полюсов изображения определяется корнями уравнения

При этом возможны два случая: а) все корни простые; б) некоторые или все корни кратные.

Случай простых корней. Расчет оригинала проводят по формуле

Как и в предыдущем случае, суммирование проводиться после

сокращения на (p – pk), а дифференцирования после сокращения на (p –

pk)m. В окончательные выражения подставляют соответствующие

значения корня.

Для достаточно широкого класса функций существуют таблицы

оригиналов и изображений, которые упрощают взаимные переходы от

изображений к оригиналам и наоборот.

Расчет переходных процессов с применением преобразования Лапласа

сводится к следующей последовательности действий:

1. Записывают уравнения Кирхгофа в интегро-дифференциальной

форме с учетом независимых начальных условий (начальных токов

в индуктивностях и начальных напряжений на емкостях).

2. Применяя преобразование Лапласа, переходят к алгебраическим

уравнениям для изображений токов и напряжений.

3. Решают полученные алгебраические уравнения.

4. Применяя обратное преобразование Лапласа, находят оригиналы,

т. е. искомые функции тока или узлового потенциала.

Таким образом, использование преобразований Лапласа является лишь математическим методом решения уравнений Кирхгофа. Расчет переходных процессов методом, основанным на использовании преобразования Лапласа, проще классического метода, так как не требует

нахождения частного решения для установившегося процесса и проведения утомительных вычислений постоянных интегрирования. Однако эта простота обеспечивается лишь возможностью использования таблиц оригиналов и изображений, приводимых в математических

справочниках.

⇐ Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 323334 Следующая ⇒