 |
Приложение производных к исследованию функций
|
|
|
|
Производная, её геометрический и физический смысл
Дифференцирование функции – вычисление производной.
Дифференцируемая функция – функция, у которой есть производная.
Определение производной.  – непрерывная функция.  – приращением аргумента. Разность  – приращение функции. Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
 (6.1)
| ||
Геометрический смысл производной: значение производной функции  в точке  равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к графику функции  в точке  .
| ||
| Уравнение касательной к графику функции  в точке  :
 (6.2)
Уравнение нормали к графику функции в точке  :
 (6.3)
Нормаль  касательной в точке 
Угол между кривыми  и  в точке пересечения  :
 .
| |
|  в точке   касательная к графику функции в точке  .
 в точке  касательная параллельна оси Ох. В т.  функция достигает максимума: 
 непрерывна в точке  , но  в точке  нет касательной в точке 
 при  и при  (функция возрастает)
 при  (функция убывает)
| |
Физический смысл производной:  – путь,  – скорость,  – ускорение.
|
Вычисление производной. Дифференциал
I. Правила дифференцирования. 
– дифференцируемые функции
1. Константа: 
;
2. 
;
3. Сумма (разность): 
;
4. Произведение: 
5. Константа умножить на функцию: 
;
6. Частное: 
;
7. Константа разделить на функцию: 
.
| II. Таблица производных | ||||||
Степенные функции
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
Показательные функции
5.  ;
6.  ;
Логарифмические функции
7.  ;
8.  ;
| Тригонометрические функции
9.  ;
10.  ;
11.  ;
12.  ;
Гиперболические функции
13.  ;
14.  ;
15.  ;
16.  ;
| Обратные тригонометрические функции
17.  ;
18.  ;
19.  ;
20.  ;
| ||||
| Производные высших порядков | ||||||
Вторая производная  – это производная от первой производной:  .
n -ая производная  – это производная от (n -1)-ой производной:  .
| ||||||
Производные параметрически заданной функции
  , 
| ||||||
Дифференциал 
| ||||||
| 1. Геометрический смысл дифференциала:Дифференциал равен приращению касательной к графику функции.
 – дифференцируемые функции
2.  ;
3.  , если x – независимая переменная;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  .
| |||||
9. Формула приближённых вычислений:  (6.4)
| ||||||
Погрешности вычисления
Найти  , если  . Тогда  ,  – абсолютная погрешность x. Тогда
 .
 – абсолютная погрешность функции 
 – относительная погрешность y.
| ||||||
| 6.3 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя | ||||||
| Теорема Ролля. Функция 
1. непрерывна на[ a; b ];
2. дифференцируема в интервале (a; b);
3.  .
Тогда существует по крайней мере одна точка  ( ), такая, что  .
Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке  параллельна оси Ox.
| |||||
| Теорема Лагранжа. Функция
1. непрерывна на[ a; b ];
2. дифференцируема в интервале (a; b).
Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что
 .
Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна секущей АВ.
| |||||
Теорема Коши. Функции и 
1. непрерывны на[ a; b ];
2. дифференцируемы в интервале (a; b);
3.  при  .
Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что
 .
| ||||||
| Раскрытие неопределённостей в пределах | ||||||
Правило Лопиталя. Функции и
1. удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки  ;
2.  и существует  . Тогда  .
| ||||||
| Раскрытие других видов неопределенностей | ||||||
| 
| |||||
| 
| |||||
| 
| |||||
Формула Тейлора. Функция определена в точке  и её окрестности  и имеет в ней производные до порядка (n +1) включительно. Тогда 
 , (6.5)
где  – остаточный член в форме Лагранжа.
Формула Маклорена:
 . (6.6)
| ||||||
Приложение производных к исследованию функций
|
|
|
Определение. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке 
, если она определена в точке 
и некоторой ее окрестности 
, и значение функции в точке 
больше (меньше), чем ее значение во всех соседних точках: 
|
|
|
.
Минимум и максимум функции называются точками экстремума.
Определение. Функция  называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на множестве  , если её график находится ниже (выше) любой касательной.
| Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз
| |||
| Исследование по первой производной 
 Функция убывает.  Функция возрастает
 .  . При переходе через точку минимума  меняет знак с «–» на «+»
 . При переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «–»
 . 
| |||
Исследование по второй производной  .  функция выпукла вверх,  – выпукла вниз
| ||||
 – точка перегиба
| Если вторая производная существует, то в точке максимума  , в точке минимума  .
В точке перегиба  .
| |||
План исследования функции  и построение её графика
| ||||
1. Область определения.
2. Чётность:  нечётность:  иначе – функция общего вида.
3. Асимптоты: 1) вертикальные асимптоты вида  в точках разрыва 2-го рода; 2) наклонная асимптота  ; 3) горизонтальная асимптота  .
4. Точки пересечения с осями: с  .
5. Интервалы монотонности и точки экстремума (по знаку первой производной  ).
6. Интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба (по знаку второй производной  ).
7. Построение графика.
| ||||
| Наибольшее M и наименьшее m значения непрерывной функции, заданной на отрезке [ a; b ] | ||||
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, заданной на отрезке  , находятся либо в концах отрезка, либо внутри отрезка в точках экстремума.
| ||||
Примеры решения задач
Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке с абсциссой 
.
Решение. Уравнения касательной и нормали – формулы (6.2) и (6.3).
. 
.
Уравнение касательной: 
или 
.
Уравнение нормали: 
или 
.
Пример 2. Найти вторую производную 
функции 
и вычислить её в точке 
.
,
.
Пример 3. Исследовать функцию 
и построить её график.
Решение. Проведём полное исследование функции.
1. Область определения 
.
2. 
. В этом случае говорят, что функция 
общего вида.
3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва 
на наличие в ней вертикальной асимптоты. Для этого найдём пределы функции слева и справа. Если хотя бы один предел будет равен бесконечности, то в точке 
будет проходить вертикальная асимптота.
|
|
|
Предел слева:  ,
Предел справа:  .
| Прямая  – вертикальная асимптота.
|
Наклонная асимптота 
:
, 
.
Таким образом, прямая 
является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.
4. Точки пересечения с осями.
С осью 
, т.е. точки 
.
С осью 
, т.е. точка 
.
5. Интервалы монотонности. Найдём производную 
и точки, в которых она равна нули или не существует.
, 
, 
.
6. Интервалы выпуклости вверх (вниз).
.
таких точек нет; 
.
Найденные точки разбивают всю числовую ось на четыре интервала. Определим знаки первой и второй производной и поведение функции в каждом интервале.
| x | 
| 
| 
| 
| |||
| y’ | – | + | 
| + | – | ||
| y’’ | + | + | + |
| – | – | – |
| y | 
| –2 min | 
|
| 
| –6 max | 
|
В точке 
функция достигает минимума, в точке 
– максимума:
, 
.
7.Для построения графика отмечаем точки пересечения с осями координат, точки экстремума и пунктирными линиями наносим асимптоты. Начинаем построение от вертикальной асимптоты. При  слева предел функции равен  , а при  график функции приближается к наклонной асимптоте  . Справа от вертикальной асимптоты  , а при  график функции приближается к наклонной асимптоте.
|
Пример 4. Дана функция 
. Найти: 1) экстремум функции;
2) наибольшее M и наименьшее m значения функции на отрезке [-1, 4].
Решение.1) 
. Находим точки, в которых производная равна нулю:
На числовой оси отмечаем точки 
и 
. Находим знаки производной в полученных интервалах и указываем соответствующее поведение функции:
В точке 
функция достигает максимума, в точке 
– минимума:
. 
.
2) Вначале нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Это 
и 
. Но точка 
, поэтому дальше её не рассматриваем. Затем необходимо вычислить значение функции в концах отрезка и в точке 
, т.к. она принадлежит отрезку 
. После этого из полученных значений нужно выбрать самое большое M и самое маленькое m значения.
Таким образом, 
, 
.
Пример 5. Найти производные функций.
|
|
|
1) 
.
2) производная суммы (разности) степенных функций:
.
3) производная произведения: 
.
4) производная частного:
Пример 6. Выяснить, в какой точкекривой 
касательная параллельна прямой 
. Найти уравнение касательной в этой точке.
Решение. Угловой коэффициент прямой 
равен угловому коэффициенту касательной, так как они параллельны: 
. Тогда 
, 
. В точке 
касательная к кривой 
параллельна прямой 
, её уравнение имеет вид 
или 
Пример 7. Найти точку на кривой 
, в которой касательная составляет угол 
с положительным направлением оси 
. Написать уравнение этой касательной.
Решение. Угловой коэффициент касательной 
равен производной 
рассматриваемой функции, поэтому 
, 
, 
. Тогда в точке 
рассматриваемой кривой 
касательная составляет угол 
с положительным направлением оси 
. Её уравнение 
, или 
.
Пример 8. Тело движется по прямой по закону 
. Определить скорость и ускорение движения тела в момент времени 
.
Решение. Скорость тела равна производной пути по времени, ускорение – производная скорости: 
, 
.
Пример 9. Вычислить приращение длины стороны куба, если известно, что его объём увеличился от 64 до 64,3 м3.
Решение. Если 
– объём куба, то его сторона 
. По условию задачи 
, 
. Тогда приращение стороны куба 
м.
Пример 10. Найти асимптоты и построить график функции 
.
1) область определения D=(-¥;0) È (0;+ ¥). Вертикальная асимптота в точке разрыва х=0:
,
следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонная асимптота:
Т.о., прямая у = х + 2 – наклонная асимптота.
Построим график функции:
Пример 11. Найти асимптоты и построить график функции 
.
1) Область определения D=(-¥;-3) È (-3;3) È (3;+ ¥). Вертикальные асимптоты в точках разрыва.
Прямые х = 3 и х = -3 – вертикальные асимптоты кривой.
Степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому наклонной асимптоты нет. Найдем горизонтальную:
y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример 12. Найти асимптоты и построить график функции 
.
1) D=(-¥; –2) È (–2;+ ¥).
Прямая х = –2 – вертикальная асимптота кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
Прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
Пример 13. Исследовать функцию 
и построить ее график.
1) Область определения D= (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). х = 1, х = –1 – точки разрыва.
2) Асимптоты. В точках разрыва вертикальные асимптоты.
Прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Наклонная асимптота.
y = x – наклонная асимптота.
3) Четность – нечетность. 
– нечётная функция. Значит, график симметричен относительно начала координат.
4) Точки пересечения с осями. С осью Ox: y=0, 
. С осью Oy та же точка.
5) Интервалы монотонности и точки экстремума. Найдем производную функции
|
|
|
,
6) Интервалы выпуклости вверх – вниз, точки перегиба. Найдем вторую производную функции
.
Заполним таблицу:
| x | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| ||
| y’ | + | – | 
| – | – | 
| – | + | |||
| y’’ | – | – | – | 
| – | – | 
| – | – | – | |
| y | Ç | 
max
| Ç | 
| Ç | Точка перегиба | È | 
| È | 
min
| È |
Пример 14. Исследовать функцию 
и построить ее график.
1). D= (–¥; +¥).
2). 
Þ Функция общего вида.
3). Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1.
4). Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
у = –х – наклонная асимптота.
5). Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
. 
.
6) Выпуклость вверх-вниз, точки перегиба.
. 
.
| x | 
| (0;1) | (1;+¥) | 
| ||
| y’ | – | – | 
| – | ||
| y’’ | + | – | 
| + | ||
| y | È | Точка перегиба | Ç | Точка перегиба | È | |
Пример 15. Исследовать функцию 
и построить ее график.
1. D= (–¥; 0) È (0;+¥)..
2. 
Þ функция общего вида.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. х = 0 точка разрыва, 
Þ прямая х = 0 вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота в виде: y = kx + b. 
,
Наклонная асимптота у = х.
5. Интервалы возрастания-убывания, точки экстремума функции.
, 
.
6. Для определения характера выпуклости функции находим вторую производную. 
| x | 
| (0;2) | (2;+¥) | 
| ||
| y’ | + | 
| – | + | ||
| y’’ | + | 
| + | + | + | |
| y | È | 
| È | min | È | |
Пример 16. Провести исследование функции 
и построить её график.
1. Область определения функции 
.
2. Чётность – нечётность:
и 
, значит, функция общего вида.
3. Точки пересечения графика с осями координат:
С осью 
.
Корни многочлена являются делителями его свободного члена. Число 22 делится нацело на 
. Подставим эти числа поочерёдно в многочлен:
не является корнем.
не является корнем.
является корнем. Поэтому многочлен делится нацело на 
и его можно разложить на множители вида:
,
Получаем точки пересечения с осью 
: 
, 
.
С осью 
, т.е. точка 
.
4. Точки экстремума и интервалы монотонности.
Найдём производную 
и точки, в которых производная равна нулю:
На числовой оси отмечаем точки 
и 
. Найдём знаки производной в полученных интервалах и укажем соответствующее поведение функции:
В интервалах
