 |
Дифференцирование сложных функций.
|
|
|
|
Определение функции нескольких переменных.
Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.
G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Предел функции 2-х переменных.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.
Опр. Окрестностью точки р0 называется круг с центром в точке р0 и радиусом r. r = Ö(х-х0)2+(у-у0)2Ø
Число А называется пределом функции |в точке р0, если для любого
Lim f(x,y)
pàp0
сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½<e, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р0, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.
Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р0, если выполняются 3 условия:
1)функция определена в этой точке. f(р0) = f(x,y);
2)ф-я имеет предел в этой точке.
Lim f(р) = b
pàp0
3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x0,y0);
Lim f(x,y) = f(x0,y0);
pàp0
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
|
|
|
Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.
Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.
Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.
Частное производной.
Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.
Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р1(х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:
Dхz = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.
¶z = Lim Dxz
¶x Dx®0 Dx
à ¶z = Lim f(x+Dx,y) - f(x,y)
¶x Dx®0 Dx
Аналогично определяем частное производной по переменной у.
Нахождение частных производных.
При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).
(Лекция № 2)
Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных.
z=f(x,y) в области D.
p(x,y) Î D - рассматриваемая точка. Дадим х приращение Dх, у - Dу. Получим р1(х+Dх, у+Dу). Вычилим значение функции. Полным приращение функции называется разность:
|
|
|
Dz = f(p1)-f(p)
Dz = f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)
Опр. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная линейная часть приращения этой функции, если приращение можно преобразовать к виду:
Dz = ADx + BDy + a
А, В - не зависят от Dх, Dу;
a - зависит от Dх и Dу и при этом
Lim a = 0
r®0 r
r - расстояние между точками р и р1
S = рр1 = ÖDх2 +Dу2Ø
a является бесконечно малой, более высокого порядка, чем r
При ументшении Dх и Dу a®0 быстрее, чем r. Из определения следует, что полный дифференциал функции равен
z = ADx + BDy
При малых Dх и Dу имеет место равенство Dz» dz.
Опр. Если функция z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке р, то она называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема. Необходимые условия дифференцируемости функции.
Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р, то она имеет частные производные в этой точке и при этом выражение поного дифференциала А = ¶z/¶x B = ¶z/¶y, т.е. полный дифференциал может быть записак в виде:
dz = ¶z/¶x Dx + ¶z/¶y Dy
Док-во: По определению дифференцируемости приращение функции может быть записано в виде:
Dz = ADx+BDy +a при любом Dх и Dу.
Рассмотрим 2 частных случая
1)Dх¹0 Dу = 0
При этом Dz=ADx+a /Dx и перейдем к пределу. Полное приращение функций превращается в частное приращение.
Lim Dxz/Dx = Lim A+a/Dx
Dx®0 Dx®0
¶z/¶x= A+Lim(Dx®0)a/Dx =0 т.к. r=Dх
В результате получаем А=¶z/¶x
2)Dx=0 Dy¹0
При этом аналогичным образом получим, что В=¶z/¶y
Теорема доказана. Как следствие à полный дифференциал дифференцируемой функции определяется по формуле:
dz=¶z/¶x·Dx+¶z/¶y·Dy, если при этом учесть, сто приращение независимых переменных х и у равны их дифференциалам Dx=dx, Dy=dy, то окончательно получим:
dz=¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy
Теорема 2. Достаточное услови дифференцируемости функции.
Если z=f(x,y) имеет в точке р(х,у) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, т.е. она имеет полный дифференциал.
Полный дифференциал для функций нескольких переменных.
Для функций многих переменный полный дифференциал определяется аналогично, при этом:
u=f(x,y,z,…,t)
du=¶u/¶x·dx+¶u/¶y·dy+¶u/¶z·dz+…+¶u/¶t·dt
Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.
Пусть задана функция z=f(x,y) рассмотрим ее полное приращение.
|
|
|
Dz=f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)
При малых Dх и Dу à Dz»dz è
f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)» ¶z/x¶·Dx+¶z/¶y·dy®
f(x+Dx,y+Dy)» f(x,y)+¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy -формула для приближенных вычислений.
Эта формула позволяет вычислять приближенное значение функции в точке р1 по известному ее в точке р и значением ее частных производных в точке р. Чем меньше Dх и Dу, тем меньше погрешность.
Дифференцирование сложных функций.
Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:
z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.
Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:
dz/dt = ¶z/¶x·dx/dt+ ¶x/¶y·dy/dt [**]
Док-во: Дадим переменной t приращение Dt, при этом х=х(t) получит приращение Dх, а у=у(t) à Dу, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение Dz, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:
Dz=¶z/¶x·Dx + ¶z/¶y·Dy + a
разделим на Dt и перейдем к пределу
Lim(Dt®0)Dz/Dt = ¶z/¶x·Lim(Dt®0)Dx/Dt +
+ ¶z/¶y·Lim(Dt®0)Dy/Dt + Lim(Dt®0)a/Dt
dz/dt = ¶z/¶x·dx/dt + ¶z/¶y·dy/dt + Lim(Dt®0) a/r·r/Dt è 0
r=ÖDx2+Dy2Ø
Lim(Dt®0)a/r=0 - по определению дифференциала.
Lim(Dt®0)r/Dt = Lim(Dt®0)Ö(Dx/Dt)2+(Dy/Dt)2Ø=
=Ö(dx/dt)2+(dy/dt)2ع¥
Формула [**] доказана.
Рассмотрим частный случай сложной функции:
z= f[x,y(x)] = z(x)
в ф-ле [**] вместо tàх, получим
dz/dx= ¶z/¶x·dx/dx+ ¶z/¶y·dy/dx
dz/dx= ¶z/¶x+ ¶z/¶y·dy/dx [***]
Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.
Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t) è z=z(r,s,..,t) - cложная функция.
При этом формула [**] принимает вид:
¶z/¶r=¶z/¶x·¶x/¶r+¶x/¶y·¶y/¶r
¶z/¶s=¶z/¶x·¶x/¶s+ ¶z/¶y·¶y/¶s [****]
Лекция №3
|
|
|
