Теория процессов переноса. «Демон Максвелла»

Максвелл продолжал заниматься вопросами кинетической теории, построив в работе «По поводу динамической теории газов» (On the dynamical theory of gases, 1866) более общую, чем ранее, теорию процессов переноса. В результате своих опытов по измерению вязкости газов он решил отказаться от представления о молекулах как об упругих шариках. В новой работе он рассматривал молекулы как малые тела, отталкивающие друг друга с силой, зависящей от расстояния между ними (из своих опытов он вывел, что это отталкивание обратно пропорционально расстоянию в пятой степени). Феноменологически рассмотрев вязкость среды на основании такой простейшей для расчётов модели молекул («максвелловские молекулы»), он впервые ввёл понятие времени релаксации как времени установления равновесия. Далее он математически разобрал с единых позиций процессы взаимодействия двух молекул одного или разных видов, впервые введя в теорию интеграл по столкновениям, обобщённый впоследствии Людвигом Больцманом. Рассмотрев процессы переноса, он определил значения коэффициентов диффузии и теплопроводности, связав их с экспериментальными данными. Хотя отдельные утверждения Максвелла оказались неверными (например, законы взаимодействия молекул более сложны), развитый им общий подход оказался весьма плодотворным. В частности, были заложены основы теории вязкоупругости на базе модели среды, известной как «среда Максвелла» (Maxwell material). В той же работе 1866 года он дал новый вывод распределения молекул по скоростям, исходя из условия, позже названного принципом детального равновесия.

Много внимания Максвелл уделял написанию своих монографий по кинетической теории газов и по электричеству. В Гленлэре он закончил свой учебник «Теория теплоты» (Theory of Heat), изданный в 1871 году и несколько раз переиздававшийся ещё при жизни автора. Большая часть этой книги была посвящена феноменологическому рассмотрению тепловых явлений. В последней главе содержались основные сведения по молекулярно-кинетической теории в сочетании со статистическими идеями Максвелла. Там же он выступил против второго начала термодинамики в формулировке Томсона и Клаузиуса, приводившей к «тепловой смерти Вселенной». Не соглашаясь с этой чисто механической точкой зрения, он первым осознал статистический характер второго начала. Согласно Максвеллу, оно может нарушаться отдельными молекулами, но остаётся справедливым для больших совокупностей частиц. Для иллюстрации этого положения он предложил парадокс, известный как «демон Максвелла» (термин предложен Томсоном, сам Максвелл предпочитал слово «клапан»). Он состоит в том, что некоторая управляющая система («демон») способна уменьшать энтропию системы без затраты работы^[81]. Парадокс демона Максвелла был разрешён уже в XX столетии в работах Мариана Смолуховского, указавшего на роль флуктуаций в самом управляющем элементе, и Лео Сциларда, показавшего, что получение «демоном» информации о молекулах приводит к повышению энтропии. Таким образом, второе начало термодинамики не нарушается^[82].

Кватернионы

Открытка Максвелла Питеру Тэту, подписанная {\displaystyle dp/dt}

В 1868 году Максвелл опубликовал очередную статью по электромагнетизму. Годом ранее появился повод существенно упростить изложение результатов работы. Он прочитал «Элементарный трактат о кватернионах» (An elementary treatise on quaternions) Питера Тэта и решил применить кватернионную запись к многочисленным математическим соотношениям своей теории, что позволяло сократить и прояснить их запись. Одним из наиболее полезных инструментов стал гамильтонов оператор набла, название которого было предложено Уильямом Робертсоном Смитом, другом Максвелла, по аналогии с древнеассирийским видом арфы с треугольным остовом. Максвелл написал шуточную оду «Шеф-музыканту по игре на набла», посвящённую Тэту. Успех этого стихотворения обеспечил закрепление нового термина в научном обиходе. Максвеллу принадлежала и первая запись уравнений электромагнитного поля в инвариантном векторном виде через гамильтонов оператор. Стоит отметить, что Тэту он обязан своим псевдонимом {\displaystyle dp/dt}, которым подписывал письма и стихи. Дело в том, что в своём «Трактате о натурфилософии» Томсон и Тэт представили второе начало термодинамики в виде {\displaystyle JCM=dp/dt} . Поскольку левая часть совпадает с инициалами Максвелла, тот решил в дальнейшем использовать для подписи правую часть. Среди других достижений гленлэрского периода статья под названием «О регуляторах» (On governors, 1868), в которой дан анализ устойчивости центробежного регулятора методами теории малых колебаний.

«Трактат об электричестве и магнетизме»

Титульный лист «Трактата»

В 1873 году вышел капитальный двухтомный труд Максвелла «Трактат об электричестве и магнетизме» (A Treatise on Electricity and Magnetism), содержавший сведения о существовавших ранее теориях электричества, методах измерения и особенностях экспериментальной аппаратуры, но основное внимание было уделено трактовке электромагнетизма с единых, фарадеевских позиций. При этом изложение материала было построено даже в ущерб собственным идеям Максвелла. В «Трактате» содержались основные уравнения электромагнитного поля, известные ныне как уравнения Максвелла. Впрочем, они были представлены в не слишком удобной форме (через скалярный и векторный потенциалы, к тому же в кватернионной записи), и их было довольно много — двенадцать. Впоследствии Генрих Герц и Оливер Хевисайд переписали их через векторы электрического и магнитного поля, получив в итоге четыре уравнения в современной форме. Хевисайд также впервые отметил симметрию уравнений Максвелла. Непосредственным следствием этих уравнений стало предсказание существования электромагнитных волн, экспериментально открытых Герцем в 1887—1888 годах. Другими важнейшими результатами, изложенными в «Трактате», стали доказательство электромагнитной природы света и предсказание эффекта давления света (как результата пондеромоторного действия электромагнитных волн), обнаруженного много позже в знаменитых опытах Петра Лебедева. На основе своей теории Максвелл также дал объяснение влиянию магнитного поля на распространение света (эффект Фарадея). Ещё одно доказательство справедливости теории Максвелла — квадратичная связь между оптическими (показатель преломления) и электрическими (диэлектрическая проницаемость) характеристиками среды — было опубликовано Людвигом Больцманом вскоре после выхода «Трактата».

Фундаментальная работа Максвелла была прохладно принята большинством корифеев тогдашней науки — Стоксом, Эйри, Томсоном (он назвал теорию своего друга «любопытной и оригинальной, но не слишком логичной гипотезой», и лишь после опытов Лебедева эта его убеждённость была несколько поколеблена), Гельмгольцем, который безуспешно пытался примирить новые взгляды со старыми теориями на основе дальнодействия. Тэт посчитал основным достижением «Трактата» лишь окончательное развенчание дальнодействия. Особенно трудной для понимания была концепция тока смещения, который должен существовать даже в отсутствие материи, то есть в эфире. Даже Герц, ученик Гельмгольца, избегал ссылок на Максвелла, работы которого были крайне непопулярны в Германии, и писал, что его опыты по созданию электромагнитных волн «убедительны вне зависимости от какой бы то ни было теории». Не способствовали пониманию новых идей и особенности стиля — недостатки обозначений и зачастую сумбурность изложения, что отмечали, например, французские учёные Анри Пуанкаре и Пьер Дюэм. Последний писал: «Мы полагали, что вступаем в мирное и упорядоченное жилище дедуктивного разума, а вместо этого оказались на каком-то заводе»

Лишь некоторые учёные, в основном молодые, всерьёз заинтересовались теорией Максвелла: Артур Шустер (англ. Arthur Schuster), впервые прочитавший в Манчестере курс лекций на базе «Трактата»; Оливер Лодж, задавшийся целью обнаружить электромагнитные волны; Джордж Фицджеральд, безуспешно пытавшийся убедить Томсона (в то время уже лорда Кельвина) в справедливости максвелловских представлений; Людвиг Больцман; русские учёные Николай Умов и Александр Столетов^[94]. Знаменитый голландский физик Хендрик Антон Лоренц, в своей работе одним из первых применивший теорию Максвелла, много лет спустя писал:

«Трактат об электричестве и магнетизме» произвёл на меня, пожалуй, одно из самых сильных впечатлений в жизни: толкование света как электромагнитного явления по своей смелости превзошло всё, что я до сих пор знал. Но книга Максвелла была не из лёгких!