Практическая формула для расчета на устойчивость.

ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ.

Раньше при сжатии стержня прочность проверяли по формуле:

; или – по допускаемым напряжение.

Эти формулы предполагают, что все время вплоть до разрушения стержень работает на осевое сжатие. Однако, если имеем дело с длинным стержнем, то разрушение произойдет при напряжениях значительно меньших, чем при сжатии короткого стержня (от потери устойчивости). Записанные выше формулы справедливы только для коротких стержней. Рассмотрим поведение длинного стержня под нагрузкой.

Здесь различают 3 состояния:

1) устойчивое состояние, когда стержень под действием нагрузки сохраняет первоначальную форму. Если этот стержень незначительно отклонить какой-либо поперечной силой, а затем убрать эту силу, то он примет первоначальное положение.

2) безразличное состояние – это такое состояние, когда стержень может находиться в любом положении: а) в первоначальном; б)если отклонить незначительно, то остается в отклоненном положении. Нагрузка соответствующая этому состоянию называется критической.

3) неустойчивое состояние – это такое состояние, когда нагрузка больше критической - происходит разрушение

Для инженера интерес представляет безразличное состояние, т.е. ytj,[jlbvj научиться находить силу Р при которой стержень начинает разрушаться.

Критическая сила при осевом сжатии. (формула Эйлера)

: Критическая сила может иметь бесчисленное множество значений.

– формула Леонардо-Эйлера

 

Инженера интересует наименьшее значение критической силы, когда n=1

Влияние способа закрепления концов стержня на величину критической силы.

При других способах закрепления концов стержня критическая сила определяется по формуле:

где - коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня. Значения приведены на рисунках.

Критические напряжения и пределы применения формулы Эйлера.

σ_кр = Р_кр /А - критическое напряжение, где А – площадь поперечного сечения стержня.

обозначим , где λ - гибкость стержня, - наименьший радиус инерции.

После подстановки получим критическое напряжение:

Формулой Эйлера не всегда можно воспользоваться.

Вывод формулы Эйлера исходит из уравнения ЕI y//=M, где Е- модуль упругости материала.

Как видно из диаграммы за пределом пропорциональности модуль упругости меняет свою величину, поэтому формулу Эйлера нельзя применять при напряжениях превышающих предел пропорциональности.

 

– пределы применимости формулы Эйлера.

Пояснение: когда λ найденная по формуле окажется больше чем можно использовать формулу Эйлера для определения σ_кр..

Например, для стержня, изготовленного из стали с пределом пропорциональности

σ_пц = 200 МПа = 20кн/см², Е =2,1∙106 кг/см² =2,1 ∙ 10⁴ кн/см ² можно пользоваться формулой Эйлера при гибкости: т.е. для стали 3 при справедлива формула Эйлера.

Аналогичным образом получим условия применимости формулы Эйлера для чугуна: .

Для стержней малой и средней гибкости в результате экспериментальных исследований Ф. Ясинский получил формулы:

σ_кр= σ_О. – для стержней малой гибкости при λ=(0÷100)

σ_кр= σ_тек – для пластичных материалов

σ_кр= σ_пч – для хрупких материалов

σ_кр= а-в∙λ – формула Ясинского, где а и b - коэффициенты, зависящие от материала;

где а=3100кг/см² b =11,4кг/см^2. - для стержней из стали 3.

(или а=2400кг/см² b =4кг/см²- по новым результатам исследований для мягко пластичных сталей).

Формула Ясинского применима для стержней средней гибкости λ=60÷100 для стали 3.

Имея формулы Эйлера и формулы Ясинского можно построить график зависимости λ от σ_кр..

Практическая формула для расчета на устойчивость.

Вместо двух формул Эйлера и Ясинского удобно иметь одну. Выведем эту практическую формулу. Известно, что прочность стержня, нагруженного осевой силой Р, можно проверить по формуле , где .

На устойчивость проверим по формуле . Обозначим получим

(3)

- проверка устойчивости при расчете по допускаемым напряжениям.

 

(4)	- проверка устойчивости при расчете по расчетным сопротивлениям, где Rу – предел текучести (расчетное сопротивление). Абрутто – площадь поперечного сечения брутто (без учета ослаблений).

По формулам 3 и 4 проверяется стержень на устойчивость, кроме этого не следует забывать, что стержень необходимо проверить еще на прочность по формуле:

(по допускаемым напряжениям) или (по расчетным сопротивлениям).

А_н – площадь поперечного сечения нетто (с учетом ослаблений, отверстий и т.д.)

– постоянные величины для данного материала. Поэтому будет зависеть от σ_кр. Учитывая, что между σ_кр. и λ существует зависимость следующего вида , то можно составить график зависимости .

Графики зависимости построены для многих строительных материалов. Иногда они приводятся в виде таблиц.

По формулам (3 и 4) можно подобрать сечение стержня. Для этого поступают следующим образом:

Алгоритм подбора сечения.

1) задаемся значением φ =0,6÷0,7

2) по формуле определяютА_Б

3) принимают по значениямА_Б размеры поперечного сечения (для прокатных профилей по сортаменту)

4) определить минимальный радиус инерции поперечного сечения i_min

5) определить гибкость

6) по таблице (или по графику зависимости находят значение )

7) после этого осуществляют проверку по формуле или

8) если это условие не удовлетворяется, то задаются другим значением и расчет повторяют, при этом не допускается большой запас устойчивости.

Пример: Подобрать двутавровое сечение из стали 3, центрально сжатой колонны заделанной одним концом, при другом свободном конце. Дано: расчетная сжимающая сила Р=1200 кг; L=2м, R_у=21 кн/см² Решение.

Принимаем φ=0,6;

по сортаменту принимаем двутавр N50 (A=100 см ² i_min =3,23 см ; i_mах =19,9 см

Определяем гибкость по таблице находим φ = 0,428

>21 не удовлетворяет проверке

Вторая попытка: пусть φ=0,5;

по сортаменту принимаем двутавр N55 (A=118 см ² i_min =3,39 см

Определяем гибкость по таблице находим φ = 0,499

проверка: ≤21 кн/см² - это сечение удовлетворяет нагрузке

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: