Примеры задач линейного программирования.

Математические методы в экономике. Предмет математического программирования.

Большое число планово-производственных и экономических задач связано с распределением каких-либо ограниченных ресурсов.(сырья, рабочей силы, энергии, топлива и т.д.). Часто распределение ресурсов можно произвести не единственным образом. При этом каждый способ распределения ресурсов, оцениваемый с позиций некоторого критерия (прибыль, объем выпускаемой продукции и т.п.), характеризуется определенным значением показателя этого критерия. Естественно поэтому стремление найти такой вариант (программу, план) распределения, который гарантировал бы наибольший экономический эффект. Такой план называют оптимальным.

Чтобы использовать методы математического программирования для нахождения оптимального плана, экономическую проблему необходимо записать с помощью математических выражений (уравнений, неравенств и т.п.), т.е. оставить ее математическую модель.

Математическая модель – система математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и взаимосвязи между ними.

В состав модели входят соотношения, отражающие специфичные условия, которым должно удовлетворять решение данной задачи. Эти соотношения называются системой ограничений.

Также в состав модели входит функция, которая в математической форме выражает поставленную цель с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Поиск оптимального плана с математической точки зрения представляет собой определение такого набора числовых значений неизвестных, удовлетворяющих ограничительным условиям задачи, при которых целевая функция достигает экстремальной величины.

В общем случае математическая модель имеет вид:

Допустимым решением называется любой вектор , удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Оптимальным решением называется такое допустимое решение при котором достигает экстремума.

Реальные экономические процессы весьма сложны. При их описании приходиться учитывать множество различных факторов. Поэтому математическая модель содержит большое число ограничительных условий.

Если неизвестные входят в модель только в первой степени, то задача относится к разделу линейного программирования, в противном случае, к разделу нелинейного программирования.

Математическое программирование – это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями.

Предметом исследования математического программирования являются математические модели, связанные в большинстве случаев с определенными экономическими процессами, которые описывают экономику предприятия, промышленного объединения, отрасли народного хозяйства.

Примеры задач линейного программирования.

1. Задача оптимального производственного планирования.

Предприятие выпускает продукцию видов. При изготовлении продукции расходуются ресурсы видов. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены величинами (запасы ресурсов).

Расход ресурса -го вида на единицу продукции -го вида составляет единиц. -прибыль, получаемая при реализации единицы продукции -го вида.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение.

-план производства.

-объем выпуска продукции -го вида.

Тогда суммарная прибыль от реализации выпущенной предприятием продукции определяется выражением

При этом общий расход -го ресурса не должен превышать имеющегося запаса , т.е.

.

Необходимо учитывать условия неотрицательности , т.к. объем продукции не может быть отрицательным.

Таким образом, математическая модель имеет вид

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: