 |
Знать определения (уметь также распознавать их среди предложенного набора высказываний), уметь приводить примеры, удовлетворяющие и не удовлетворяющие определениям
|
|
|
|
Обязательная часть
(знать определения, формулировки и доказательства теорем, свойств)
1. Понятие последовательности. Определения: ограниченной, неограниченной, монотонных последовательностей. Примеры.
2. Определения сходящейся последовательности: на ε-n языке, на языке окрестностей. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность, переход к пределу в неравенствах, сохранение знака предела.
3. Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела последовательности. Свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших последовательностей.
5. Понятие функции. Способы задания функции. Классы функций: монотонные, ограниченные, периодические, четные, нечетные.
6. График функции. Основные элементарные функции (
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
): определения, свойства (область определения, область значений, четность, периодичность, монотонность, наличие экстремумов и асимптот - без доказательства), графики.
7. Определения предела функции в точке: на ε-δ языке, на языке последовательностей, на языке окрестностей. Односторонние пределы. Предел функции при 
.
8. Свойства функций, имеющих предел в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, переход к пределу в неравенствах, арифметические операции).
9. Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции. Их свойства.
10. Определения непрерывности функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
11. Точки разрыва и их классификация.
12. Замечательные пределы. Следствия из 2-го замечательного предела.
13. Сравнение функций. Понятие о-малого, эквивалентных функций. Основные эквивалентности. Теорема о замене функций на эквивалентные функции при вычислении пределов.
|
|
|
14. Определение точных граней.
15. Определение фундаментальной последовательности. Формулировки критерия Коши сходимости последовательности и существования предела функции.
Дополнительная часть (знать формулировки теорем и указанные доказательства)
16. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.
17. Число e (с доказательством).
18. Принцип вложенных отрезков (с доказательством).
19. Теорема Больцано-Вейерштрасса (с доказательством).
20. Теорема существования точных граней.
21. Критерий Коши сходимости последовательности (с доказательством).
22. Критерий Коши существования предела функции.
23. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность (с доказательством), достижение наибольших и наименьших значений.
24. Теоремы об обращении функции в ноль (с доказательством) и о промежуточном значении.
25. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора.
26. Понятие обратной функции. Теорема существования обратной функции.
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ К КОЛЛОКВИУМУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
(ЭКТ-1, 1 семестр) 2011/12 гг.
Уметь распознавать:
1.1. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
1.3. Монотонные последовательности.
1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
1.5. Точки разрыва, непрерывности функций.
1.6. Эквивалентные функции
Знать определения (уметь также распознавать их среди предложенного набора высказываний), уметь приводить примеры, удовлетворяющие и не удовлетворяющие определениям
2.1. Ограниченных последовательностей (включая ограниченные сверху и снизу).
2.2. Возрастающих, убывающих, невозрастающих, неубывающих последовательностей.
2.3. Предела последовательности (на ε-n языке, на языке окрестностей)
|
|
|
2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
2.5. Предела функции в точке (все 16 случаев) по Коши и по Гейне.
2.6. Непрерывности функции в точке, на интервале, отрезке.
2.7. Точек разрыва: устранимых, 1 рода, 2 рода.
2.8. Эквивалентных функций, порядка малости одной функции относительно другой, о-малого.
2.9. Односторонних пределов.
2.10. Знать замечательные пределы и следствия из них.
2.11. Точных граней.
|
|
|
