 |
Нелинейные модели парной и множественной регрессии. Производственные функции.
|
|
|
|
Классическая и обобщенная модели множественной линейной регрессии. Условия применения метода наименьших квадратов, свойства его оценок.
Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное влияние на результативный признак.
Для двухфакторной модели уравнение множественной линейной регрессии: 
.
Чтобы знать, можно ли применять метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров, существуют следующие предпосылки (условия) применения МНК:
1. Y-зависимая величина является случайной (эндогенной) переменной; X – фиксированная, заданная величина (экзогенная)
2. Математическое ожидание остатков д.б. =0., т.е. М(Ei)=0. (Для справки: матем.ожидание – это аналог средней и это же есть ковариация).
3. Остатки д.б. гомо скедастичны (дисперсия остатков одинакова для всех значений фактора). Тесты на гетеро скедастичность проводят (тест Уайта, тест Глейзера), если не подтверждается, то делаем вывод о гомо скедастичности.
4. Отсутствие автокорреляции остатков (то есть остатки распределены независимо друг от друга, нет связи между предыдущим и последующим), т.е. М(Еi Еj)=0. Тест на автокорреляцию остатков – это тест Дарвина-Уотсона.
Если выполняются все 4 условия, то модель будет называться классической моделью линейной регрессии.
5. Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
Если выполняются все 5 условий, то модель уже будет называться классической нормальной моделью линейной регрессии.
6. Отсутствие коллинеарности между факторами (отсутствие связи между ними).
Последнее условие (6) если выполняется, то модель можно отнести к множественной регрессии.
|
|
|
Если нарушается 3 и 4 предпосылки (одновременно или одна из них), то речь идет уже об обобщенной модели регрессии. Если 3 условие НЕ выполняется, а 4 выполняется, то можно применять Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК).
Модель: 
.
Свойства оценок МНК: 1. Св-во несмещенности ( означает, что математическое ожидание выбранных оценок параметров =0); 2. Св-во состоятельности. Оценки считаются состоятельными, если их точность увеличивается с увеличением объема выборки, т.е. чем больше выборка, тем меньше ошибок. Поэтому на каждый фактор примерно по 10 наблюдений должно быть. 3. Св-во эффективности ( оценки характеризуются наименьшей дисперсией или ошибками, когда в остатках гетероскедастичность, то это свойство нарушается и тогда оценки уже неэффективные).
Прогноз и оценка его точности на основе уравнений парной и множественной линейной регрессии.
При осуществлении прогноза в модель регрессии подставляем прогнозное значение Х и получаем прогнозное значение У. Для этого можно использовать только качественные модели (в них высокий коэф. Детерминации 
(показывает ск-ко % вариации У зависит от учтенных в модели факторов) и параметры значимы).
При использовании уравнения множественной регрессии в целях прогнозирования необходимо давать точечную и интервальную оценку полученных прогнозных значений зависимой переменной.
Средняя ошибка для индивидуального прогноза: 
(для парной линейной регрессии)
Средняя ошибка для среднего прогноза: 
Для прогноза Х выбирается из: Х min≤ Xn≤Xmax
Предельная ошибка прогноза: 
Доверительные границы определяются: 
Нелинейные модели парной и множественной регрессии. Производственные функции.
Нелинейные модели (функции спроса и предложения, степенная зависимость и т.д.) могут быть нелинейными по параметрам(парабола, можно легко привести к линейной) и по переменным.
|
|
|
Производственной функцией называется экономико-математическая модель, с помощью которой можно охарактеризовать зависимость результатов производственной деятельности предприятия, отрасли или национальной экономики в целом от повлиявших на эти результаты факторов.
Основными разновидностями однофакторных производственных функций являются:
1) линейная однофакторная производственная функция вида: y= 
,
2) параболическая однофакторная производственная функция вида: 
;при условиях β0 ›0, β1 ›0, β2 ›0. Данная функция характеризуется тем, что при росте затрат ресурса х, объём произведённой продукции у вначале возрастает до некоторой максимальной величины, а затем снижается до нуля;
3) степенная однофакторная производственная функция вида: 
; при условиях β0 ›0, β1 ›0. Данная функция характеризуется тем, что с ростом затрат ресурса х, объём производства у возрастает без ограничений;
4) показательная однофакторная производственная функция вида: 
; при условиях 0‹ β1 ‹0. Данная функция характеризуется тем, что с ростом затрат ресурса х объём произведённой продукции у также растёт, стремясь при этом к значению параметра β0.
5) гиперболическая однофакторная производственная функция вида: 
Данная функция практически не применяется при изучении зависимости объёма производства от затрат какого-либо ресурса, потому что нет необходимости в изучении ресурсов, увеличение которых приводит к уменьшению объёма производства.
Двухфакторные производственные функции (с двумя факторными переменными) характеризуют зависимость объёма производства от каких-либо двух факторов, чаще от факторов объёма основного капитала и трудовых ресурсов. Чаще всего используются такие двухфакторные производственные функции как функции Кобба-Дугласа и Солоу. Функция Кобба-Дугласа 
, где у- объем производства, К-затраты капитала,L-затраты труда.
Производственная функция Кобба-Д. используются, чтобы определить, как заменить живой труд на овеществленный.
Для наглядного изображения двухфакторных производственных функций строят графики, которые называются изоквантами.
|
|
|
