 |
Нелинейные модели парной и множественной регрессии. Производственные функции.
Классическая и обобщенная модели множественной линейной регрессии. Условия применения метода наименьших квадратов, свойства его оценок.
Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное влияние на результативный признак.
Для двухфакторной модели уравнение множественной линейной регрессии: 
.
Чтобы знать, можно ли применять метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров, существуют следующие предпосылки (условия) применения МНК:
1.Y-зависимая величина является случайной (эндогенной) переменной; X – фиксированная, заданная величина (экзогенная)
2.Математическое ожидание остатков д.б. =0., т.е. М(Ei)=0. (Для справки: матем.ожидание – это аналог средней и это же есть ковариация).
3.Остатки д.б. гомоскедастичны (дисперсия остатков одинакова для всех значений фактора). Тесты на гетероскедастичность проводят (тест Уайта, тест Глейзера), если не подтверждается, то делаем вывод о гомоскедастичности.
4.Отсутствие автокорреляции остатков (то есть остатки распределены независимо друг от друга, нет связи между предыдущим и последующим), т.е. М(Еi Еj)=0. Тест на автокорреляцию остатков – это тест Дарвина-Уотсона.
Если выполняются все 4 условия, то модель будет называться классической моделью линейной регрессии.
5.Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
Если выполняются все 5 условий, то модель уже будет называться классической нормальной моделью линейной регрессии.
6.Отсутствие коллинеарности между факторами (отсутствие связи между ними).
Последнее условие (6) если выполняется, то модель можно отнестик множественной регрессии.
Если нарушается 3 и 4 предпосылки (одновременно или одна из них), то речь идет уже обобобщенной модели регрессии.Если 3 условие НЕ выполняется, а 4 выполняется, то можно применять Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК).
Модель:
.
Свойства оценок МНК:1.Св-во несмещенности(означает, что математическое ожидание выбранных оценок параметров =0); 2. Св-во состоятельности. Оценки считаются состоятельными, если их точность увеличивается с увеличением объема выборки, т.е. чем больше выборка, тем меньше ошибок. Поэтому на каждый фактор примерно по 10 наблюдений должно быть. 3.Св-во эффективности (оценки характеризуются наименьшей дисперсией или ошибками, когда в остатках гетероскедастичность, то это свойство нарушается и тогда оценки уже неэффективные).
Прогноз и оценка его точности на основе уравнений парной и множественной линейной регрессии.
При осуществлении прогноза в модель регрессии подставляем прогнозное значение Х и получаем прогнозное значение У. Для этого можно использовать только качественные модели (в них высокий коэф. Детерминации 
(показывает ск-ко % вариации У зависит от учтенных в модели факторов) и параметры значимы).
При использовании уравнения множественной регрессии в целях прогнозирования необходимо давать точечную и интервальную оценку полученных прогнозных значений зависимой переменной.
Средняя ошибка для индивидуального прогноза: 
(для парной линейной регрессии)
Средняя ошибка для среднего прогноза: 
Для прогноза Х выбирается из: Х min≤ Xn≤Xmax
Предельная ошибка прогноза: 
Доверительные границы определяются: 
Нелинейные модели парной и множественной регрессии. Производственные функции.
Нелинейные модели (функции спроса и предложения, степенная зависимость и т.д.) могут быть нелинейными по параметрам(парабола, можно легко привести к линейной) и по переменным.
Производственной функцией называется экономико-математическая модель, с помощью которой можно охарактеризовать зависимость результатов производственной деятельности предприятия, отрасли или национальной экономики в целом от повлиявших на эти результаты факторов.
Основными разновидностями однофакторных производственных функций являются:
1) линейная однофакторная производственная функция вида: y= 
,
2) параболическая однофакторная производственная функция вида: 
;при условиях β0›0, β1›0, β2›0. Данная функция характеризуется тем, что при росте затрат ресурса х, объём произведённой продукции у вначале возрастает до некоторой максимальной величины, а затем снижается до нуля;
3) степенная однофакторная производственная функция вида: 
; при условиях β0›0, β1›0. Данная функция характеризуется тем, что с ростом затрат ресурса х, объём производства у возрастает без ограничений;
4) показательная однофакторная производственная функция вида: 
; при условиях 0‹β1‹0. Данная функция характеризуется тем, что с ростом затрат ресурса х объём произведённой продукции у также растёт, стремясь при этом к значению параметра β0.
5) гиперболическая однофакторная производственная функция вида: 
Данная функция практически не применяется при изучении зависимости объёма производства от затрат какого-либо ресурса, потому что нет необходимости в изучении ресурсов, увеличение которых приводит к уменьшению объёма производства.
Двухфакторные производственные функции(с двумя факторными переменными) характеризуют зависимость объёма производства от каких-либо двух факторов, чаще от факторов объёма основного капитала и трудовых ресурсов. Чаще всего используются такие двухфакторные производственные функции как функции Кобба-Дугласа и Солоу. Функция Кобба-Дугласа 
, где у- объем производства, К-затраты капитала,L-затраты труда.
Производственная функция Кобба-Д. используются, чтобы определить, как заменить живой труд на овеществленный.
Для наглядного изображения двухфакторных производственных функций строят графики, которые называются изоквантами.
