 |
Интегрирование рациональных дробей.
– дробная рациональная функция. Правильная, если п<m, и неправильная в обратном случае.
Заметим, что из неправильной дроби модно выделить целую часть и представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Среди всех правильных дробей выделяют элементарные и простые дроби.
Элементарные дроби – это дроби вида: 
Интегрирование элементарных дробей:
1. 
2. 
***
Вопрос №50: Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений:
– дробное рациональное выражение от 
Интегрирование производится с помощью универсальной подстановки:
Однако эта замена иногда приводит к очень сложным выражениям, по этом модно предложить другую замену:
Так же можно применять тригонометрические преобразования:
Интегрирование иррациональности:
Основная идея заключается в том, что бы рационализировать подынтегральное выражение.
Многочлен п-1-ой степени с неопределёнными коэффициентами.
Вопрос № 51: Задачи, приводящие к определённому интегралу:
Физический смысл интеграла:
Пусть 
представляет собой закон скорости движения материальной точки вдоль оси ординат. Ставится задача вычислить путь между двумя пунктами, который проходит точка.
Отрезок разбивается на малые промежутки, число которых стремится к бесконечности. В этом случае путь считается, как сумма значений функции на этих промежутках. При увеличении числа промежутков на отрезке, получаемая сумма будет стремиться к истинному значению пути.
В этом случае путь нужно считать, как предел суммы значений функции на атом отрезке.
Вопрос № 52: Интегральные суммы:
1.Интегральные суммы.
2.Определённый интеграл.
3.Геометрический смысл.
4.Свойства, связанные с равенствами.
5.Понятие подынтегральной функции.
Геометрический смысл интеграла:
Геометрический смысл интеграла представляет собой площадь фигуры – кривой, состоящей из бесконечного количества прямоугольников.
Эта площадь приблизительно равна площади криволинейной трапеции.
Построение определённого интеграла:
определена на отрезке. Разобьём его на малые части и возьмём на 
тогда
Число 
– называется определённым интегралом для функции на отрезке.
Число 
– называется определённым интегралом для функции на отрезке, и обозначается: 
Классификация интегрируемых функций:
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нём.
2. Если функция монотонная и ограничена на отрезке, значит она интегрируема на нём.
Свойства определенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. Если две различные функции интегрируемы на отрезке, значит их сумма, разность, произведение так же интегрируема на отрезке.
5. Если функция имеет интеграл на отрезке, значит произведение функции на константу так же имеет интеграл.
6. Если функция интегрируема на отрезке, то она интегрируема на всех отрезках, входящих в первый.
Оценки интегралов:
1.Если функция интегрируема на отрезке, неотрицательна, для х из отрезка, тогда её интеграл на отрезке так же неотрицателен. Действительно все интегральные суммы больше, либо равны нулю, а по свойству их общий придел больше, либо равен нулю.
Следствие:
2.Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке, то 
3.Если две различные функции интегрируемы на отрезке, и первая больше второй, то интеграл от первой будет больше интеграла от второй на отрезке.
Следствие:
Если функция интегрируема на отрезке, то модуль функции так же интегрируем на отрезке, и имеет место оценка, что модуль интеграла функции меньше, либо равен интегралу модуля функции.
Теорема о среднем:
Функция интегрируема на отрезке. 
Доказательство:
Следствие:
Если функция непрерывна на отрезке, то существует ξ из отрезка, для которой 
, тогда 
– среднее значение функции на отрезке.
Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
1.Определённый интеграл с переменным верхним пределом.
2.Свойства.
3.Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
Пусть функция интегрируема на отрезке, фиксируем точку С из отрезка. Для всех х функция интегрируема на отрезке 
, тогда на отрезке 
определена функция 
– это интеграл с переменным верхним пределом.
Если функция непрерывна на отрезке, то для неё существует первообразная на этом отрезке, одной из первообразных является функция , следовательно:
1. 
2. Функция непрерывна на отрезке .
Заметим, что в выражении точка С – любая точка из отрезка.
Основная формула интегрального исчисления:
Было доказано, что две любые первообразные от функции отличаются на константу, тогда любую первообразную для функции можно представить в виде:
, вычислив 
Вопрос № 55: Интегрирование по частям и замени переменной в определённом интеграле:
Замена переменной в определённом интеграле:
Замена переменной в определённом интеграле производится так же, как и в неопределённом, только необходимо пересчитать пределы интегрирования, подставив их в подстановочную формулу.
Интегрирование по частям в определённом интеграле:
Для 
на отрезке существуют непрерывные производные, тогда
Доказательство:
Вопрос № 56: Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур и длин дуг:
Площадь плоской фигуры:
Функция неотрицательна на отрезке, тогда из геометрического смысла определённого интеграла следует, что площадь, вычисляется по формуле 
.
Пусть функция задана параметрически, неотрицательна на отрезке, и существуют и непрерывны первые производные 
, то площадь такой фигуры – 
Площадь криволинейного сектора:
Длинна дуги:
, производные непрерывны на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна 
, производная функции непрерывна на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна 
Пусть прямая задана в полярной системе координат, производная функции непрерывна на заданном отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна 
Длинна дуги пространственной прямой:
– непрерывны на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна 
Вопрос № 57: Вычисление площадей поверхностей тел вращения:
1.Вычисление площадей поверхностей тел вращения.
2.Вычисление объёмов тел вращения.
3.Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям.
Объём тел вращения:
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси Х и вокруг оси У получаются различные объёмы.
Пусть функция неотрицательна на отрезке, и непрерывна на нём, тогда объёмы
Более общий случай:
Пусть заданы две функции, причём одна больше, либо равна другой, и обе неотрицательны на отрезке, тогда
Пусть заданы две функции, причём одна больше, либо равна другой, отрезок лежит, целиком, правее от начала отсчёта, тогда
В параметрическом виде:
Объём тела с известной площадью поперечного сечения:
Пусть некоторое ограниченное тело лежит над отрезком оси ОХ. При произвольном х из отрезка рассечём тело перпендикулярно оси.
– площадь сечения, если она непрерывна на отрезке, то объём можно найти по формуле:
Площадь поверхности вращения:
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси, она описывает поверхность, площадь которой:
1. 
2. 
3. 
Вопрос № 58: Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования:
1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования.
а)Определение.
б) Сходимость.
2.Понятие о неопределённом интеграле от функции, неограниченной на отрезке интегрирования.
3.Свойства.
Рассмотрим 
, мы предполагаем, что отрезок конечен, а функция интегрируема на нём, а значит непрерывна, то есть обязательно ограничена на нём. Рассмотрим случай нарушения этого условия:
Отрезок конечен, функция интегрируема на 
, и функция ***
, если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится, иначе – расходится.
Если верхний предел равен бесконечности, а функция интегрируема на любом 
, то рассматривается 
, если предел существует и конечен, то интеграл сходится, иначе – расходится.
Такие интегралы называются несобственными.
Введём следующую терминологию: имеет единственную особенность в точке В, если выполняется одно из следующих условий:
1. Отрезок конечен, существует интеграл на любом , и функция стремится к бесконечности, когда х стремится к бесконечности.
2. Верхний предел равен плюс бесконечности, существует интеграл, на любом
Заметим, что аналогично определяется с единственной особенностью в точке А.
Свойства несобственных интегралов:
1. имеет единственную особенность в тоске В, и 
, то 
так же имеет единственную особенность в точке В и эти интегралы сходятся или расходятся одновременно.
2. 
по определению 
Если каждый из пределов, стоящих в правой части сходится, тогда и общий интеграл сходится.
3. Абсолютно сходящийся интеграл сходится, то есть если существует конечный предел 
, то существует конечный предел 
Вопрос № 59: Несобственные интегралы от неотрицательной функции:
1.Несобственные интегралы от неотрицательной функции.
2.Необходимый и достаточный признак сходимости.
3.Признак сравнения.
Монотонно убывает на отрезке. Существует 
. Существует конечный предел 
, то есть в этом случае интеграл сходится.
Признаки сходимости:
1. Теорема сравнения:
Рассмотрим , 
а)Если функция 
неотрицательна, и 
, то из сходимости следует сходимость , и наоборот.
б) Если функции положительны, и существует конечный и неравный нулю 
=к, то интегралы ведут себя в смысле сходимости одинаково.
Для сравнения часто используются интегралы Дирихле.
Доказательство: Пусть сходится, тогда 
из свойств обычных определённых интегралов следует: 
, следовательно существует конечный придел 
Если расходится, то бесконечен.
Вопрос № 60: Числовые ряды:
1.Числовые ряды.
2.Частичные суммы.
3.Сходимость и расходимость ряда.
4.Формулировка критерия Коши.
5.Необходимый признак сходимости ряда.
6.Основные свойства.
Числовым рядом называется выражение вида 
Частичной суммой ряда называется сумма определённого числа элементов ряда.
Если существует конечный предел 
, то говорят, что ряд сходится, а S называется его частичной суммой.
Необходимый признак сходимости ряда:
Если ряд сходится, то придел 
Поведение первых элементов ряда не влияет на его сходимость.
Пусть ряд сходится и имеет вычислимую сумму.
Основные свойства:
1.Если сходящийся ряд умножить на константу, то сходимость ряда не изменится.
2.Если два сходящихся ряда почленно сложить, полученный ряд также сойдётся.
Вопрос № 61: Ряды с неотрицательными элементами:
1.Ряды с неотрицательными элементами.
2.Необходимое и достаточное условие сходимости.
3.Теоремы сравнения.
Если 
, то для этого ряда частичная сумма образует неотрицательную последовательность. Из теории пределов известно, что неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.
Если для любого числа, большего нуля, частичная сумма меньше, либо равна этому числу, то исходный ряд сходится.
Если частичная сумма неограниченна, то придел раве бесконечности, кяд расходится.
Признак сравнения:
, 
1.Если 
, то из сходимости следует сходимость , а из расходимость – расходимость .
2. 
, и 
, то ряды ведут себя одинаково.
Вопрос № 62: Признаки сходимости:
1.Признаки сходимости.
а)Даламбера.
б) Коши.
в)Интегральный.
Признак Даламбера:
Если 
– ряд сходится, если меньше, расходится, если равно – неизвестно.
Признак Коши:
– сходится, больше – расходится, равен – неизвестно.
Интегральный признак сходимости:
Если функция, составленная и п-ного члена ряда непрерывна, невозрастающая и неотрицательная, тогда полученный несобственный интеграл и ряд ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Вопрос № 63: Знакочередующиеся ряды:
1.Знакочередующиеся ряды.
2.Абсолютная сходимость.
3.Условная сходимость.
4.Признак Лейбница.
5.Следствие.
Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда.
[1] Замкнутое ограниченное множество в называется «компактом»
[2] равномерно непрерывна на , если для всех такая, что для всех точек М1,2 из
