Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Перечень условных обозначений

Содержание

Введение

1 Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

2 Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп

3 Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

--- пустое множество;

--- множество всех , для которых выполняется условие ;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

--- множество всех целых положительных чисел.

--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении , .

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- порядок элемента группы ;

--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- коммутант группы ;

--- --холловская подгруппа группы ;

--- силовская --подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

--- группа всех автоморфизмов группы ;

--- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу называют --нильпотентной, если .

Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- подгруппа группы . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) если -субнормальна в и является подформацией формации , то -субнормальна в .

Доказательство. 1) Из того, что

следует, что . Это значит, что .

2) Так как , то и . Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:

1) если , то в множество всех -субнормальных подгрупп плотно;

2) если --- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из является плотным в .

Доказательство. 1) Пусть --- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы , из которых первая не максимальна во второй. Тогда и не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Следовательно, -субнормальна в .

2) Пусть --- подгруппа из и --- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа , для которой . Ввиду леммы, -субнормальна в . Лемма доказана.

Если --- -субнормальная подгруппа группы , то

Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в при любом . Таким образом, и потому

для каждого . Следовательно, .

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:

1) если --- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо , либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит ;

2) если и , то либо максимальна в , либо -субнормальна в .

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме,

Так как -субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему:

Докажем 2). Пусть и . Допустим, что не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как -замкнута, то . Поэтому -субнормальна в . Теперь ясно, что -субнормальна в . Лемма доказана.

Пусть --- насыщенная -замкнутая формация, --- группа с нормальной силовской -подгруппой , удовлетворяющая следующим условиям:

1) ;

2) холлова -подгруппа -группы является максимальной в и принадлежит ;

3) любая собственная подгруппа из -субнормальна в .

Тогда является минимальной не -группой.

Доказательство. Из условия прямо следует, что совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда . Так как -замкнута, то . Подгруппа является собственной в и по условию -субнормальна в . По теореме,

Итак, каждая максимальная подгруппа из принадлежит . Лемма доказана.

2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп

В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Пусть далее --- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- максимальная подгруппа в ;

2) --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе из .

Доказательство. Пусть --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме --- -группа. Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда содержит некоторую -холлову подгруппу . По нашему предположе

Воспользуйтесь поиском по сайту: