 |
Задачи для домашнего выполнения.
|
|
|
|
Занятие в математической школе
Тема: Проценты и процентное отношение. Процентные изменения.
Простейшие задачи на проценты.
Проценты одно из таких математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, вы часто читаете или слышите, что, например, в выборах приняли участие 56,3 процента избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 74 процентам, промышленное производство сократилось на 11,3 процента, банк начисляет 20 процентов годовых, молоко содержит 1,5 процента жира, и т.п. Ясно, что понимание такого рода информации в современном обществе совершенно необходимо. Задачи на проценты присутствуют в контрольных измерительных материалах ЕГЭ, при поступлении в различные ВУЗы, техникумы.
Еще с младших классов известно, что процентом от любой величины – денежной суммы, массы добытой в стране нефти, числа учащихся школы и т.п. – называется одна сотая часть. Обозначается процент знаком %.
Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.
Для нахождения заданного числа р процентов от заданной величины S можно сделать два шага: найти сначала один процент – он равен S/100 и полученный результат умножить на р – получится р S/100. Таким образом, р % от величины S составляют р S/100.
р % от S = р S/100
Эту формулу иногда называют формулой процентов.
Рассмотрим задачу № 1.
Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 13%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320 тысяч рублей?
Решение. Через год банк должен начислить на счет вкладчика 13% от суммы 320 тыс. р., т.е. 0,13х320 = 41,6 тыс.р., так что на счете будет находиться 320+41,6=361,6 тыс.р.
|
|
|
Рассмотрим ещё одну задачу вступительного экзамена агроуниверситета № 2.
В банк помещен вклад в размере 12 млн.р. под 100% годовых. В конце каждого из первых трех лет хранения после начисления процентов вкладчик снимал со счета одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 30%. Какую сумму вкладчик ежегодно снимал со счета?
Решение. Пусть Х руб. снимали ежегодно со вклада
Вкл 12 000 000 р. – 100%
У р. - 30%
3 600 000 р. – 30%
1 год: 24 000 000-Х р. – 100%
2 год: (24 000 000 –Х)х2-Х р. – 100%
3 год: ((24 000 000-Х)х2-Х)х2-Х р. – 100%
4 год: (((24 000 000-Х)х2-Х)х2-Х)х2
((48 000 000-2Х-Х)х2-Х)х2
(96 000 000-6Х-Х)х2=12 000 000+3 600 000
192 000 000-14Х = 15 600 000
14Х = 192 000 000 – 15 600 000
14Х = 176 400 000
Х = 12 600 000 руб.
2. Простой процентный рост.
Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля и т.д., то на него может налагаться штраф, который называют «пеня» (лат.- наказание).
Если, например, пеня составляет 1% от суммы платежа за каждый день просрочки, то за 19 дней просрочки штраф составляет 19% от суммы платежа, и вместе, скажем, с 50 р. Самого платежа человек должен будет внести пеню 0,19х50=9,5 р., а всего 59,5 р.
Ясно, что платежи все разные; в разных местах пеня за просрочку также неодинаковая, а время просрочки вообще зависит от большого количества факторов. Поэтому имеет смысл составить общую формулу платежей для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.
Пусть S – ежемесячный платеж, пеня составляет р % за каждый день просрочки уплаты за некоторый месяц, а п – число просроченных дней.
Сумму, которую должен заплатить человек после п дней просрочки, обозначим через S п.
Тогда за п дней просрочки пеня составляет рп% от суммы S, т.е. рп S/100, а всего заплатить за этот месяц придется S+ рп S/100, или, что то же самое, (1+ рп /100)хS. Таким образом,
|
|
|
S п=(1+рп /100)хS.
Задача № 3.
Сколько надо заплатить, если платеж 5000 р. Просрочен, пеня равна 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой: а) на 5 дней; б) на 4 месяца?
Решение. а) (1+1х5/100)х5000=5250 р.
б) за каждые 30 дней просрочки пеня составит 30% от суммы платежа, поэтому за весь срок плата возрастет до (1+1х30х4/100)х5000=2,2х5000=11 000 р.
Рассмотрим примеры «обратной задачи» на простой процентный рост: Задача № 4.
При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.?
Решение: Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада, конечной суммы и количество месяцев: 650=(1+6 р /100)х500. Таким образом получено уравнение с неизвестным р. Решим это уравнение: р =(650:500-1)х100:6=5%.
Задача № 5.
Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 тыс.р.?
Решение: Подставим в формулу простого процентного роста величину процентной ставки, конечной суммы и количество месяцев: 33000=(1+4х8/100)хS. Таким образом, получено уравнение с неизвестным S. Решим это уравнение: S=33000:1,32 =25 000 (р.)
Сложный процентный рост
В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесенную в банк. За первый год нахождения внесенной суммы на счете она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т.е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются «проценты на проценты». В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах.
Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет через п лет равна S п.
S п = (1 + р /100) п х S.
Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.
Задача № 6.
Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет, если банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 2000 р.?
|
|
|
Решение: Сумма через 5 лет составит (1+12/100)5х2000 = 3524,68 р.
Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз вычисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.
Можно сказать также, что при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при сложном росте 100% каждый раз новые – это предыдущее значение величины.
Задача № 7.
Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет:
а) при начислении банком простых процентов;
б) при начислении сложных процентов?
Решение: При простом процентном росте через 5 лет сумма составит
(1 + 20х5/100) х 5000 = 10 000 р.,
а при сложном
(1 + 20/100)5 х 5000 = 12 441,6 р.
Задача № 8.
Каким должен быть начальный вклад, чтобы через 2 года вклад в банке, начисляющем 30% годовых, возрос до 8,45 тыс.р.?
Решение: Обозначим величину начального вклада через Х и подставим все данные в формулу: (1 + 30/100)2 х Х = 8,45.
Полученное уравнение имеет единственное решение: Х =5 (тыс.р.)
Формула сложного процентного роста применима к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая от предыдущего его значения.
Ответы на задачи для самостоятельного решения:
№1 21 000 000 руб.
№2 900 руб., 360 руб., 150 руб.
№3 Цена снижалась два раза на 20 %
№4 На 28 %
№5 На 25 %
№6 12%
№7 На 5 %
№8 На 20 %
Решение домашней задачи:
№2. А3 = А0 х (1 + 0,01х10)х(1 + 0,01х20)х(1 + 0,01х25)
А3 = А0 х 1,1х1,2х1,25 или А3 = А0 х 1.65
По формуле процентного сравнения:
А3 - А0 х 100% = 1,65х А0 - А0 х 100%
А0 А0
Ответ: цена возросла на 65 %.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1. (Задача вступительного экзамена Красноярского агроуниверситета)
Вкладчик поместил в банк некоторую сумму денег под 100% годовых. В конце каждого из первых трех лет хранения после начисления процентов вкладчик снимал со счета 22050000 рублей. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 30%. Какую сумму денег вкладчик поместил в банк?
|
|
|
(21 000 000 руб.)
№ 2. (Задача вступительного экзамена Красноярской архитектурной академии)
Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 рублей, причем второй получил 1/3 того, что получил первый, и ещё 60 рублей, а третий получил 1/3 денег второго и ещё 30 рублей. Какую премию получил каждый?
(900 руб., 360 руб., 150 руб.)
№ 3. (Задача вступительного экзамена Новосибирского госуниверситета)
Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80 рублей. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?
(Цена снижалась два раза на 20 %)
№ 4. (Задача ЕГЭ)
В январе пакт акций стоил на 10 % меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20 % меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость пакета акций в январе, чем в марте?
(На 28 %)
№ 5. (Задача ЕГЭ)
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20 %. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
(На 25 %)
№ 6. (Задача ЕГЭ)
В начале года в сбербанк на счет было положено 1640 руб. и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через год на счету снова оказалось 882 руб. Сколько процентов начисляет сбербанк в год?
(12%)
№7. (Задача ЕГЭ)
Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 6000 рублей, а окончательная 6615 рублей?
(На 5 %)
№ 8. (Задача ЕГЭ)
Зарплату повысили на р %. Затем новую зарплату повысили на 2 р %. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?
(На 20 %).
Задачи для домашнего выполнения.
№ 1.
В банк помещен вклад в размере 14 250 000 рублей под 50 % годовых. В конце каждого из первых трех лет хранения после начисления процентов вкладчик снимал со счета одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 30 %. Какую сумму денег вкладчик ежегодно снимал со счета?
№ 2.
В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возрастала трижды: на 10 %, на 20 % и на 25 %. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?
|
|
|
