Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Теоретический материал

Лабораторная работа №1

Марковские системы массового обслуживания (СМО)

Цели: моделированию функционирования систем массового обслуживания с использованием марковских случайных процессов.

Теоретический материал

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
Для задания СМО необходимо задать вероятностные характеристики времени обслуживания одной заявки. Обозначим это время через T_obsl. Величина T_obsl является случайной. Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается показательным, т.е.

Параметр этого распределения m называемая интенсивностью потока обслуживания, есть величина, обратная среднему времени обслуживания, т.е.

При этом под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом. Если T_obsl представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение, то поток обслуживания является простейшим.
Если входящий поток и все потоки обслуживания простейшие, то процесс, протекающий в СМО, является марковским случайным процессом (цепью) с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поэтому СМО, в которой все потоки простейшие, называют марковской СМО.
Таким образом, предположение о показательном законе распределения времени обслуживания и интервала времени между двумя последовательными поступлениями заявок играет исключительную роль в теории массового обслуживания, так как упрощает аналитическое исследование СМО, сводя его к исследованию цепей Маркова.

Задача 1. Автоматизированная система управления АСУ продажей железнодорожных билетов состоит из двух параллельно работающих ЭВМ. При выходе из строя одной ЭВМ АСУ продолжает нормально функционировать за счет работы другой ЭВМ. Поток отказов каждой ЭВМ простейший. Среднее время безотказной работы одной ЭВМ равно 10 суткам. При выходе из строя отказавшую ЭВМ начинают ремонтировать. Время ремонта ЭВМ распределено по показательному закону и в среднем составляет двое суток. В начальный момент обе ЭВМ исправны. Найти среднюю производительность АСУ, если при исправности хотя бы ЭВМ ее производительность равна 100%, а при отказе обеих ЭВМ продажа билетов производится вручную, обеспечивая 30% общей производительности АСУ. Провести статистическое испытание модели АСУ.
Решение. Обозначим состояния АСУ по числу вышедших из строя ЭВМ: A₀ - обе машины исправны; A₁ - одна исправна, одна ремонтируется; A₂ - обе машины ремонтируются. Так как потоки отказов и восстановления ЭВМ являются простейшими, то их интенсивности вычисляются по формулам:
, отказов в сутки, , восстановления в сутки.

Из состояния A₀ в состояние A₁ СМО переходит с интенсивностью l₀= 2 l, из состояния A₁ в состояние A₂; - с интенсивностью l₁= l, из состояния A₂ в состояние A₁ - с интенсивностью m₂= 2 m, из состояния A₁ в состояние A₀ - с интенсивностью m₁ = m. В описанной СМО происходит процесс гибели и размножения с числом состояний k+1=3, так как k=2. Перейдем к вычислениям:
> M[T]:=10;lambda:=1/M[T];T[obsl]:=2;mu:=1/T[obsl];lambda0:=2*lambda;lambda1:=lambda;

mu1:=mu;mu2:=2*mu;p[0]:=(1+lambda0/mu1+lambda0*lambda1/(mu1*mu2))^(-1);
p[1]:=lambda0/mu1*p[0];p[2]:=lambda1/mu2*p[1];

Очевидно, что сумма всех вероятностей состояний равна 1:

> p[0]+p[1]+p[2];

Средняя производительность (%) в установившемся режиме составит

> print(evalf(100*(p[0]+p[1])+30*p[2]),"%"):

Перейдем к статистическому моделированию СМО, для чего составим процедуру:

> p:=proc(k) global sb1,sb2,ob:local k1,k2,t1,t2,i,rn,r:
sb1:=0:sb2:=0:ob:=0:k1:=0:k2:=0:t1:=0:t2:=0:
rn:=rand(1..10):for i from 1 by 1 to k do
k1:=rn(): if (k1=1 and t1=0) then t1:=2:sb1:=sb1+1:else if (t1>0) then t1:=t1-0.5 fi:fi:
k2:=rn():if (k2=1 and t2=0) then t2:=2:sb2:=sb2+1 else if (t2>0) then t2:=t2-0.5 fi:fi: if (t1=2 and t2=2) then ob:=ob+1 fi:od:end:

Глобальные переменные sb1 и sb2 хранят количество сбоев 1-го и 2-о компьютеров соответственно. Другая глобальная переменная ob служит для накопления случаев одновременного выхода из строя обоих компьютеров. Локальная переменная t1 (t2) выражает продолжительность ремонта 1-го (2-го) компьютера в случае выхода его из строя. Псевдослучайное число k1 (k2) принимает значения от 1 до 10. В случае k1=1 (k2=1) считаем, что произошло случайное событие " 1-ый (2-ой) компьютер вышел из строя".
Моделируем работу СМО в течение одного года (365 дней):

> n:=365:p(n);print("Всего дней: ",n):print("Сбоев 1-го компьютера: ",sb1):print("Сбоев 2-го компьютера: ",sb2):print("Одновременный сбой обоих компьютеров:",ob):

Повторим опыт 100 раз и найдем среднее число сбоев каждого компьютера за год:

> sb_1:=0:sb_2:=0:o_b:=0:
for j from 1 by 1 to 100 do
p(n):sb_1:=sb_1+sb1:sb_2:=sb_2+sb2:o_b:=o_b+ob od:print("Всего дней: ",n):print("Сбоев 1-го компьютера:",sb_1/100):print("Сбоев 2-го компьютера:",sb_2/100):print("Одновременный сбой обоих компьютеров:",o_b/100):

Задача 2. Техническое устройство состоит из двух узлов и может находиться в одном из двух состояний:

· оба узла исправны, работают;

· неисправен только первый узел;

· неисправен только второй узел;

· неисправны оба узла.

Вероятность выхода из строя после месячной эксплуатации для первого узла равна 0,4; для второго узла - 0,3, а вероятность совместного выхода их из строя равна 0,1. В исходном состоянии оба узла исправны, работают. Найдите вероятности перехода из одного состояния в другое и вероятности состояний после двухмесячной эксплуатации. Проведите статистическое моделирование работы технического устройства.

Литература

Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. Учеб. – 3-е изд, испр. – М.: Наука, 1987.