Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания заявок

Лабораторная работа №2

Одноканальная СМО (с отказами)

с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания заявок

Цели: моделирование функционирования систем массового обслуживания.

Простейшей одноканальной моделью с вероятностным входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

где l - интенсивность поступления заявок в систему.

Под интенсивностью потока понимают

где m(t, t+t) - среднее число событий в интервале (t, t+t).

Плотность распределения длительностей обслуживания:

где m - интенсивность обслуживания.

Поток заявок и обслуживания простейшие, т.е. обладающие свойствами стационарности (среднее число событий, воздействующих на систему, в течение единицы времени, остается постоянным), ординарности (вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событий пренебрежимо мала) и отсутствия последействия (для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени).

Для простейшего потока интенсивность l = const.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способности системы. Система имеет два состояния:: S₀ - канал свободен и S₁ - канал занят. Обозначим вероятности состояний:

P₀(t) - вероятность состояния S₀, P₁(t) - вероятность состояния S₁. Составим систему уравнений Колмогорова:

C учетом того, что P₀(t) + P₁(t) = 1, решение системы такое:

;

Для 1-канальной СМО с отказами вероятность P₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q: q = P₀(t).

По истечении большого интервала времени (при t -> ) достигается стационарный режим:

Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени:

или

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния "канал занят":

Данная величина может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Задача 1. Пусть 1-канальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживания являются простейшими. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

а) относительной пропускной способности q;
б) абсолютной пропускной способности А;
в) вероятности отказа P_otk;

г) сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение. Зададим исходные данные:
> t[sredn]:=1.8;lambda:=1;

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

> mu:=1/t[sredn];

2. Вычислим относительную пропускную способность СМО:

> q:=mu/(mu+lambda);

Величина q означает, что в установившемся режиме СМО будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ежедневного обслуживания автомобилей.
3. Найдем абсолютную пропускную способность СМО
> A:=lambda*q;

Это означает, что СМО способна осуществить в среднем 0,357 обслуживания автомобилей в час.
4. Вероятность отказа:
> P[otk]:=1-q;

Это означает, что 64% прибывших на пост ежедневного обслуживания автомобилей получат отказ в обслуживании.
5. Определим номинальную пропускную способность системы:
> Nom:=1/t[sredn];

Вычислим отношение номинальной пропускной способности к фактической:

> Nom/A;

Оказывается, что номинальная пропускная способность в 1,5 раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Проведем статистическое моделирование задачи, для чего составим процедуру моделирования случайного процесса поступления и обслуживания заявок:

> p:=proc(k) global post,otk,obsl:local k1,t_okon,t,rn_post:
post:=0:otk:=0:obsl:=0:k1:=0:t_okon:=0:rn_post:=rand(1..60): for t from 1 by 1 to k do
k1:=rn_post():
if (k1=1 and t_okon=0) then post:=post+1:t_okon:=stats[random, poisson[108]]():obsl:=obsl+1 fi:
if (k1=1 and t_okon>0) then post:=post+1:t_okon:=t_okon-1:otk:=otk+1 fi:
if (k1>1 and t_okon>0) then t_okon:=t_okon-1 fi od end:

Переменные post (число поступивших заявок), otk (число отказов в обслуживании) и obsl (число обслуженных заявок) - глобальные. Функция k1= rn_post() случайным образом принимает значения от 1 до 60, и служит для моделирования процесса поступления заявок. Отсчет времени ведем в минутах и моделируем как цикл с параметром t. Т.к. в среднем поступает одна заявка в час, то событие k1 = 1 означает, что заявка поступила в СМО. Время обслуживания определяется переменной time_obsl, которая инициализируется как случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием 108 (108 мин = 1.8 часа). Время окончания обслуживания заявки хранится в переменной t_okon. Если t_okon=0, то канал обслуживания свободен, и заявка, поступившая в СМО, будет обслужена (obsl=obsl+1). Если t_okon>0, то поступившая заявка получает отказ, что фиксируется как otk=otk+1, а величина t_okon убывает с каждым циклом на одну минуту (t_okon=t_okon-1).
Зададим продолжительность работы СМО в минутах, например, 480 минут (8 часов), и найдем ее параметры:
> p(480):

> print("Поступило автомобилей ",post);

> print("Обслужено автомобилей ",obsl);

> print("Отказов в обслуживании ",otk);

> print("В среднем обслуживалось в час ",evalf(obsl/8), " автомобилей");

· Повторите опыт, например, 30 раз в цикле для той же самой продолжительности работы СМО в 480 часов. Найдите статистические оценки характеристик СМО.

· Сформулируйте закон больших чисел.

· Убедитесь, что с увеличением числа повторений статистические оценки стремятся к теоретическим значениям характеристик СМО.

Задача 2. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока вызовов составляет 0.95 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет одну минуту. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме. работы. Проведите статистическое испытание работы СМО и найдите статистические оценки характеристик СМО.

Литература

Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. Учеб. – 3-е изд, испр. – М.: Наука, 1987.