Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта
Соиск. Дзарахохов А.В. Кафедра математики. Горский государственный аграрный университет Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта. Рассмотрим уравнение (1) в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых соответственно и характеристиками уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция. Пусть – параболическая, - гиперболическая области Ω, - интервал прямой y=0. ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям , (2) , (3) где - непрерывные, а - дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем . (4) Решение задачи Коши для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]: , (5) где . Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим . (6) В равенстве (6) сделаем замену . В результате получим . Заменяя в последнем равенстве x через , получаем: . (7) Из равенства (7) находим , (8) где . Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно , получаем [2]: . (9) Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем: . (10) Рассмотрим . Произведя замену переменных в последнем равенстве, получим . На основании равенства [3] будем иметь . (11) Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между и , привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0: . (12) При m = 0 оно принимает вид: . (13) Устремляя из Ω1, получаем функциональное соотношение между и , привносимое на линию y = 0 в виде: . (14) В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14) и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче
, (15) . (16) Решение (15), (16) представим в виде: , (17) где обозначено . Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем . Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем . После определения в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и . Нетрудно убедиться, что решение этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению , (18) где – функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции получаем интегральное уравнение (19) с ядром и правой частью . Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве . ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия: , (20) . (21) Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям . Пользуясь функцией Грина второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению , (22) где . Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно и : (23) , , , . В силу свойства функции Грина и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве [4]. Пусть теперь m > 0. Исключая из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно : , (24) удовлетворяющее граничному условию (25) в случае задачи 1 и нелокальному условию (26) в случае задачи 2. Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем: (27) Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):
. (28) Учитывая равенство (28) в (27), получаем: (29) где . (30) Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим , . Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь: Откуда заключаем, что . Таким образом, относительно получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода: , (31)
. Так как , то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь , (31) где Полагая в равенстве (31) х=х0 и х=1, однозначно определим , , если выполнены условия . После определения функции в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и , которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5). Список литературы Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1959. Трикоми Ф.О. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947. Мюнтц Г. Интегральные уравнения //Л.-Н.ГТТИ. 1934. Т1. Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журнал. Киев, 1995. Т.47, №12.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|