Свободных незатухающих колебаний. Маятники
Система, состоящая из тела массой m, подвешенного к пружине, второй конец которой закреплён, называют пружинным маятником (рис. 1.4). Такая система служит моделью линейного осциллятора. Если растянуть (сжать) пружину на величину х, то возникнет упругая сила, которая стремится вернуть тело в положение равновесия. При небольших деформациях справедлив закон Гука: F = - kx, где k - коэффициент жесткости пpужины. Запишем второй закон Ньютона:
Знак «минус» означает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению x. Подставим в это уpавнение ускоpение a колеблющейся точки из уpавнения (1.5), получим
Таким образом, период колебаний не зависит от амплитуды. П р и м е р 2. Поддействием силы тяжести груза пружина растянулась на 5 см. После вывода ее из состояния покоя груз совершает гармонические колебания. Определить период этих колебаний. Р е ш е н и е.Период колебаний пружинного маятника находим по формуле (1.8). Коэффициент жесткости пружины рассчитаем по закону Гука, исходя из того, что пружина растягивается под действием силы тяжести: mg = - kx, откуда модуль k = mg/x. Подставим k в формулу (1.8): Выполним вычисления и вывод единицы измерения:
Из формулы (1.7) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Заменив отношение k/m = ω02, получим дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний в виде
Его решениями являются выражения (1.1). П р и м е р 3. Д ифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний имеет вид Р е ш е н и е.Запишем уравнение в виде:
Физическим маятником называют твёрдое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси (рис. 1.5), проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела. Момент силы тяжести mg относительно оси вращения О
где По основному закону динамики вpащательного движения I e = M, Для малых отклонений sin j = j, тогда
Из сравнения уравнений (1.9) и (1.10) следует, что
В формулу (1.11) подставим момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку подвеса,
Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что физический маятник имеет такой же период колебаний, как и математический с длиной
Эту величину называют приведённой длиной физического маятника. Отметим, что I - момент инеpции относительно оси, пpоходящей чеpез точку подвеса O. По теоpеме Штейнеpа где I C- момент инеpции относительно оси, пpоходящей чеpез центp масс маятника. Пpедставим пpиведенную длину маятника в виде
откуда видно, что пpиведенная длина физического маятника больше его длины Если от точки подвеса О отложить
П р и м е р 4. Однородный стержень длиной b совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов (рис.1.7). Определить период колебаний.
Сила, возвpащающая маятник в положение pавновесия (рис. 1.6), Таким образом, механические гармонические колебания возникают в системах под действием сил, пропорциональных смещению.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|