Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Основные понятия теории игр.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объем информации каждого игрока о поведении партнеров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш - единицей, а ничью - 1/2.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными
и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, выходит за рамки настоящего пособия.

Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим А₁, Ai,..., А_т. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их В1, Bj,, Вn. Говорят, что игра имеет размерность т х п. В результате выбора игроками любой пары стратегий

Ai и Bj (i= 1,2,..., т; j= 1,2,..., п)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш аij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-аij)игрока В. Предположим, что значения аij известны для любой пары стратегий (Аi, Вj). Матрица Р = (аij), i = 1, 2,..., т; j = 1, 2,..., п, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Аi и Bj, называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы имеет вид

	B₁	B₂	…	Bn
A1	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
A2	a₂₁	A₂₂	…	a_2n
…	…	…
Am	a_m1	a_m2	…	a_mn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В.

Составим платежную матрицу для следующей игры.

Игра "поиск".

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может* спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через А] или в убежище II - стратегия А.

Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия В₁, либо в убежище II - стратегия Bi. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий {А1, В\), то игрок А платит штраф, т.е. дц = -1. Аналогично получаем ац - -I (Ai, Bi). Очевидно, что стратегии {А\, Bi) и (Ai, В\) дают игроку А выигрыш 1, поэтому ац = ац = 1. Таким образом, для игры "поиск" размера 2x2 получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру т х п с матрицей Р = (аф, i -I, 2,..., т; j =1, 2,..., п и определим наилучшую среди стратегий А\, Ai,..., А_т. Выбирая стратегию А,-, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий Bj, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А).,

Обозначим через а, наименьший выигрыш игрока А при вы-** боре им стратегии А,- для всех возможных стратегий игрока Щ (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.

Среди всех чисел а, (/' = 1, 2,..., т) выберем наибольшее: а = max а,. Назовем а нижней ценой игры, или максимальным

i'=l,2,...,m

выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

(9.2)

а = max min а_и.

/=1,...,/и у=1....,л

Стратегия, соответствующая максимину, называется максимин-ной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию Bj, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

(9.3)

- = max a_tj.

f ~1Л1

Среди всех чисел р_у выберем наименьшее р = min р_у и назо-

вем (3 верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

Р = min max o,_y. (9.4)

у=1,...,н 1=1 т

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 9.1. Рассмотрим платежную матрицу из задачи 9.1. При выборе стратегии А\ (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен а, = min(-l;l) = -1 и соответствует стратегии р, игрока 'В. При выборе стратегии Aj (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен а₂ = min(l;-l) = -1, он достигается при стратегии Bi.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В, т.е. нижнюю цену игры а = max(ai,cc₂) = max(-l;-l) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: А\ или Ai, т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию В\ (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А ответит стратегией Aj, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В\ равен Р] = тах(-1; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А) при выборе им стратегии Bi (столбец 2) равен Р2 = max(l; -1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока Нравен р = min(P|,p₂) = min(l; 1) = 1 - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 9.1 строкой р_у и столбцом а,, получим табл. 9.2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

выше, верхняя и нижняя цены игры различны: а ф р.

Если верхняя и нижняя цены" игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры а = Р = v называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптималъными стратегиями, а их совокупность - оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий Aj и Bj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент ау явля ется одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).

Обозначим А* и В* - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введем функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: P[A_h Bj) = a/j. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P{A_hB*) < Р(А*,В*) < Р(А*,Bj), которое справедливо для всех /= 1,..., m,j=l,...; п. Действительно, выбор стратегии А* первым игроком при оптимальной стратегии В* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р(А*,В')> P(Aj,B*), а выбор стратегии ЕС вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: Р(А",В') < Р(А*,В).

9.2. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Табл и ца 9.

4 \ Вг в, <*/

Ах 0,5 0,6 0,8 0,5

А₂ 0,9 0,7 0,8 0,7

А_ъ 0,7 0,6 0,6 0,6

Ру 0,9 ал 0,8 а = = Р = 0,

Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец а, и строка Р₇ (табл. 9.3). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем

строках 1, 2, 3. Аналогично р, = 0,9, р₂ = 0,7, р₃ = 0,8 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры

а = max а, = max(0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольшее число в столбце (=1,2,3

а_;) и верхняя цена игры р = min р ■ = min(0,9; 0,7; 0,8) = 0,7

7=1,2,3

(наименьшее число в строке р_у). Эти значения равны, т.е. а = р, и достигаются на одной и той же паре стратегий (Ai, 2?₂). Следовательно, игра имеет седловую точку (А₂, В₂) ^и и^ена игры v = 0,7. ►

12 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: