Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
1. Теоретические сведения
При исследовании многочисленных физических, химических, технологических и других процессов очень часто сталкиваются со следующей задачей: в итоге опыта получен ряд значений переменных Пусть заданы результаты наблюдений
и нужно получить такую эмпирическую зависимость
где Задача определения эмпирической зависимости состоит из двух этапов: 1) определение вида функциональной зависимости (выбор класса функций, которому должна принадлежать искомая функция 2) определение параметров эмпирической зависимости. Определение вида зависимости может быть произведено на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости или из геометрических соображений. На плоскости После того как определен класс, которому должна принадлежать искомая эмпирическая зависимость, встает вопрос о нахождения конкретных значений параметров Одним из основных методов нахождения параметров эмпирической зависимости является метод наименьших квадратов. Этот метод не решает вопроса о выборе общего вида аналитической функции, а дает возможность при заданном типе аналитической функции подобрать наиболее вероятные значения для ее параметров.
Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что параметры
Если
Известно, что если в качестве функции а систему (4) можно преобразовать к виду
Полученная система решается любым известным методом (Гаусса, Крамера, матричным) или с помощью стандартных программ на компьютере. Отметим два частных случая наиболее часто встречающихся на практике — случаи линейной и квадратичной зависимости
Чтобы получить систему (6), нужно в системе (5) положить В случае квадратичной зависимости
Для этого в системе (5) нужно положить Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма
2. Примеры решения задач. Задание 1. Найти эмпирическую зависимость времени валки дерева от его диаметра, по результатам испытаний, приведенных в таблице
Решение. Обозначим
Рис. 1. Точечная диаграмма Из точечной диаграммы (рис.1) видно, что точки
Таблица 1
Система (6) для нашего примера имеет вид: Из нее находим коэффициенты Искомая эмпирическая функция будет Решение при помощи Excel. Нахождение эмпирических формул методом наименьших квадратов можно осуществлять в среде Excel, используя: · функции СТЕПЕНЬ, ПРОИЗВЕД, СУММ, СУММКВ, СУММПРОИЗВ, · формулы массива МОБР, МУМНОЖ, · графический анализ с помощью Линий тренда. Рассмотрим на конкретных примерах, как работают эти функции. 1. Внесите данные задачи в ячейки B4:B13 и C4:C13. 2. Вычислите =B4*B4 и затем скопировав ее в ячейки D5:D13 (направив указатель мыши на черный квадрат в правом нижнем углу ячейки, чтобы он принял вид черного крестика, и протащив в ячейку D5 и т.д.). Аналогично найдите произведения Эти же результаты можно получить, используя функции СТЕПЕНЬ и ПРОИЗВЕД в категории Математические Мастера функций. 3. Найдите сумму значений в ячейках B4:B13 и результат запишите в ячейку B14. Для этого выделим соответствующие ячейки и нажмем пиктограмму суммирование на Панели инструментов. Для суммирования элементов массива можно воспользоваться функциями СУММ, СУММКВ, СУММПРОИЗВ в категории Математические Мастера функций.
3. Система (6) для нашего примера имеет вид: Обозначим · В ячейках L3:M4 запишите матрицу А. · Найдите обратную матрицу
Задайте адреса матрицы А L3:M4 и нажмите Ctrl+Shift+Enter для выполнения действия. · В ячейках M9:M10 запишите столбец свободных членов B. · Умножьте матрицу
Задайте адреса перемножаемых матриц L6:M7 и M9:M10 и нажмите Ctrl+Shift+Enter для выполнения действия. Таким образом, искомая эмпирическая функция имеет вид Рис.2. Рабочий лист 1 4. Постройте точечную диаграмму зависимости t от d. используя Мастер диаграмм, который вызывается с помощью команды Вставка → Диаграмма или при нажатии соответствующей кнопки на панели инструментов. · Выделите данные, которые будут включены в диаграмму, т.е. ячейки B4:C13. · Выберите команду Вставка → Диаграмма (можно щелкнуть кнопку Мастер диаграмм на панели инструментов). · На первом шаге работы Мастера диаграмм выберите Тип диаграммы вариант Точечная и щелкните Далее. Можно пропустить остальные шаги и сразу нажать кнопку Готово. На экране появится встроенный график. При необходимости его можно перетащить в более удобное место, зацепив мышью за край области диаграммы. · Добавьте к исходной точечной диаграмме линию тренда. Для этого используйте команду меню Диаграмма → Добавить линию тренда, которая появляется, если диаграмма выделена. · В окне Линия тренда во вкладке Тип и выберите шаблон кривой. В нашем случае Линейная
На диаграмме появится линия тренда и ее уравнение (рис 2).
Задание 2. Установить вид эмпирической зависимости y от x и методом наименьших квадратов найти ее параметры для следующих значений
Решение. На плоскости Рис. 3. Точечная диаграмма
Из точечной диаграммы (рис.3) видно, что точки
Система (7) для нашего примера имеет вид: Решая её, например, по формулам Крамера, находим, что
Решение при помощи Excel. Все исходные, промежуточные данные и результаты решения изображены на рабочем листе2 (рис.4).
Рис.4. Рабочий лист 2
Система (6) для нашего примера принимает вид: Следовательно, зависимость
3. Индивидуальные задания 1. Методом наименьших квадратов найти параметры эмпирической зависимость, если известно, что зависимость
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
2. Установить вид эмпирической зависимости y от x и методом наименьших квадратов найти ее параметры для следующих значений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
3. Контрольные вопросы. 1. Какая зависимость называется эмпирической? 2. Из каких двух этапов состоит процесс получения эмпирической зависимости? 3. Из каких соображений выбирается вид эмпирической зависимости? 4. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов? 5. Откуда находятся значения параметров эмпирической зависимости. 6. В чем состоит преимущество метода наименьших квадратов? 7. В чем недостаток метода наименьших квадратов? 8. Что дает анализ точечной диаграммы и графика эмпирической зависимости?
Читайте также: Время независимости. Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|