Применение производной к исследованию функций

Физический смысл производной

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

 

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

 

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

 

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

 

Геометрический смысл производной, касательная

1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x ₀.

2. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

3.

На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f (x) и от­ме­че­ны семь точек на оси абсцисс: x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅, x ₆, x ₇. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f (x) отрицательна?

4. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f (x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x ₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f (x) в точке x ₀.

9. На ри­сун­ке изображен гра­фик функции y=f(x). Прямая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло координат, ка­са­ет­ся графика этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f' (8).

 

10. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции и во­семь точек на оси абсцисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции положительна?

 

11. На ри­сун­ке изображён гра­фик функции и две­на­дцать точек на оси абсцисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функции отрицательна?

 

12. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

 

13. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

14. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

 

20.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f (x). Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку y = f (x) па­рал­лель­на пря­мой y = 6 x или сов­па­да­ет с ней.

 

Применение производной к исследованию функций

1. На ри­сун­ке изображен график производной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те промежутки воз­рас­та­ния функции . В от­ве­те укажите сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти промежутки.

 

2. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции y = f (x).

 

 

3. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна(отрицательна.).

 

 

5. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

 

6. На ри­сун­ке изображен гра­фик функции y = f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функции f (x).

 

 

7. На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?

8. На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f (x) принимает наименьшее значение?

 

 

9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

 

10. На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f (x) на отрезке [−13;1].

 

11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

 

 

13. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

14. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

15. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

16. На ри­сун­ке изображен гра­фик производной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те количество точек, в ко­то­рых касательная к гра­фи­ку функции f(x) па­рал­лель­на прямой y = −2 x − 11 или сов­па­да­ет с ней.

 

 

17. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

 

18. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

 

19. На ри­сун­ке изображён гра­фик - про­из­вод­ной функции f (x).На оси абсцисс отмечены во­семь точек: x ₁, x ₂, x ₃,..., x ₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f (x)?

 

20. На ри­сун­ке изображён гра­фик про­из­вод­ной функции и во­семь точек на оси абсцисс: , . В сколь­ких из этих точек функ­ция убывает?

 

21. На ри­сун­ке изображен гра­фик функции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние производной наименьшее? В от­ве­те укажите эту точку.

 

22. На ри­сун­ке изображён гра­фик функции у = f '(x) — про­из­вод­ной функции f (x) определённой на ин­тер­ва­ле (1; 10). Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функции f (x).

24. Функция опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик ее производной. Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее значение.

 

25. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней.

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: